Unitäres Produkt... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin total verzweifelt, da nicht mal mein Tutor Tipps zu dieser Aufgabe geben konnte. Wäre echt genial wenn sich jemand erbarmen könnte und mir hier weiterhelfen würde. Die Aufgabe lautet:
Sei V ein n-dimensionaler [mm] \IC-Vektorraum [/mm] mit unitärem Produkt <*,*>, A eine n x n-Matrix über [mm] \IC [/mm] mit der Eigenschaft, dass <x,y> = <Ax,Ay> für alle x,y [mm] \in [/mm] V gilt. Zeigen Sie, dass es eine Matrix S [mm] \in [/mm] U (n) gibt, so dass [mm] SAS^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen ist.
Vielen Dank
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Die Aufgabe ist so falsch gestellt, das klappt nämlich nicht, wie ein einfaches Gegenbeispiel zeigt: wähle $n = 1$, also $V = \IC$ und als unitäres Produkt nimmt man $\langle x,y \rangle = x \cdot \bar{y}$.
Die Abbildung $A : \IC \to \IC$ sei durch Multiplikation mit $i$ gegeben. Dann gilt natürlich $\langle i \cdot x, i \cdot y \rangle = ix \cdot \bar{iy} = x \cdot \bar{y} = \langle x, y \rangle}$, da $i \cdot \bar{i} = i \cdot (-i) = - (-1) = 1$.
Aber ist $S \in U(1)$ beliebig, also $S = z$ eine komplexe Zahl mit $|z| = 1$, dann gilt $z \cdot i \cdot z^{-1} = i$ und das ist ja nicht reell. 
Die Aufgabe kann man auf zwei Arten retten:
1) Man lässt die Forderung fallen, dass die Einträge der Diagonalmatrix reell sein sollen - diagonalisiert bekommt man es.
2) Man verlangt, dass $A$ keine Isometrie, sondern selbstadjungiert ist, d.h. es soll statt der angegebenen Gleichung gelten
$\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$
Dann klappt es wieder.
Viel Erfolg!
Lars
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