Unitärer Vektorraum < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 02.09.2009 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | | Sei [mm]V[/mm] ein endl.-dimens. unitärer Vektorraum und [mm]f[/mm] ein Endomorphismus von [mm]V[/mm]. Gilt [mm]=0[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm], so ist [mm]f=0[/mm]. |
Hallo allerseits.
Ich grüble schon länger über dieser Aufgabe aber komme auf keine Lösung.
Die Aussage gilt in einem euklidischen Vektorraum i.A. nicht (Bsp. f als Drehung um 90° im [mm]\IR^2[/mm]).
f besitzt auf jeden Fall einen Eigenwert (da das char. Polynom über [mm]\IC[/mm] zerfällt) und dieser muss 0 sein. Bringt aber nicht viel oder?
Die Lösung wird wahrscheinlich nicht sehr schwer sein, aber ich komme einfach nicht drauf... Würde mich über eine Antwort freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke & Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]V[/mm] ein endl.-dimens. unitärer Vektorraum und [mm]f[/mm] ein
> Endomorphismus von [mm]V[/mm]. Gilt [mm]=0[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm], so
> ist [mm]f=0[/mm].
>
> Ich grüble schon länger über dieser Aufgabe aber komme
> auf keine Lösung.
> Die Aussage gilt in einem euklidischen Vektorraum i.A.
> nicht (Bsp. f als Drehung um 90° im [mm]\IR^2[/mm]).
Genau.
> f besitzt auf jeden Fall einen Eigenwert (da das char.
> Polynom über [mm]\IC[/mm] zerfällt) und dieser muss 0 sein. Bringt
> aber nicht viel oder?
Nun, du hast, dass jeder Eigenwert 0 ist, womit $f$ nilpotent ist (das char. Poly. ist von der Form [mm] $X^n$, [/mm] also gilt [mm] $f^n [/mm] = 0$).
Insbesondere kannst du eine Basis $A$ von $V$ finden, so dass [mm] $M_A^A(f) \in \IC^{n \times n}$ [/mm] eine echte obere Dreiecksmatrix ist. Das Skalarprodukt auf $V$ entspricht auf [mm] $\IC^n$ [/mm] dem Standardskalarprodukt.
Du hast also eine echte obere Dreiecksmatrix $B [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $\langle [/mm] B v, v [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $v [mm] \in \IC^n$. [/mm] Setzt du den Vektor $(1, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ ein, so erhaelst du dass der $(1, 2)$-Eintrag von $B$ 0 sein muss. Setzt du den Vektor $(1, 0, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ ein, so erhaelst du, dass der $(1, 3)$-Eintrag von $B$ 0 sein muss. Setzt du den Vektor $(0, 1, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ ein, so erhaelst du, dass der $(2, 3)$-Eintrag von $B$ 0 sein muss.
Wenn du so fortfaehrst (um zu zeigen, dass die $i$-te Spalte von $B$ 0 ist, verwendest du, dass die Spalten $1, [mm] \dots, [/mm] i-1$ alle 0 sind), bekommst du schliesslich, dass $B = 0$ sein muss, und damit $f = 0$.
LG Felix
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