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| Aufgabe | | Sei A nxn Matrix über C. Zeige: Ist A²= +-Einheitsmatrix, so ist A diagonalisierbar, aber im Allgemeinen nicht normal. |
Also wenn A*A die Einheitsmatrix ergibt heißt das ja quasi das A selbstinvers ist. Bedeutet das nicht auch dass A nur 1 oder -1 als Eigenwert annehmen kann??
Wie komme ich auf die Diagonalisierbarkeit?
Wär super wenn jemand helfen könnte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei A nxn Matrix über C. Zeige: Ist A²= +-Einheitsmatrix,
> so ist A diagonalisierbar, aber im Allgemeinen nicht
> normal.
> Also wenn A*A die Einheitsmatrix ergibt heißt das ja
> quasi das A selbstinvers ist.
... nicht nur quasi ...
> Bedeutet das nicht auch dass
> A nur 1 oder -1 als Eigenwert annehmen kann??
Ja.
> Wie komme ich auf die Diagonalisierbarkeit?
Ist [mm] A^2=E [/mm] und [mm] p(t)=(t-1)(t+1)=t^2-1, [/mm] so ist p(A)=0
Welche Möglichkeiten gibt es nun für das Minimalpolynom von A
Zerfällt das Minimalpolynom in Linearfaktoren ?
FRED
> Wär super wenn jemand helfen könnte..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erst mal vielen Dank für deine Hilfe!!
P(t) = (t-1)(t+1) ist doch bereits das Minimalpolynom oder steh ich jetzt total auf dem Schlauch? [Das Minimalpoynom muss ja auch P(A) =0 erfüllen].. und da dieses offensichtlich in Linearfaktoren zerfällt, (mit unterschdl Eigenwerten) folgt daraus doch unmittelbar die Diagonalisierbarkeit..jedenfalls für A²= E
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Erst mal vielen Dank für deine Hilfe!!
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> P(t) = (t-1)(t+1) ist doch bereits das Minimalpolynom oder
> steh ich jetzt total auf dem Schlauch?
Was ist wenn A=E ? Und was ist, wenn A=-E ?
FRED
> [Das Minimalpoynom
> muss ja auch P(A) =0 erfüllen].. und da dieses
> offensichtlich in Linearfaktoren zerfällt, (mit unterschdl
> Eigenwerten) folgt daraus doch unmittelbar die
> Diagonalisierbarkeit..jedenfalls für A²= E
>
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Ah klar, A könnte ja schon E oder -E sein.. dann wäre natürlich (t-1) bzw (t+1) Mininmalpolynom.. aber auch in dem fall zerfiele es ja in Linearfaktoren richtig!? also reicht an der Stelle eine Fallunterscheidung?! Besten Dank nochmal
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