Ungleichungsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 30.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung n! [mm] \ge 3^{n} [/mm] ? |
Hallo,
für welche n das gilt, ist ziemlich schnell klar, wenn man die Zahlen einsetzt und zwar für [mm] n\ge [/mm] 7.
Ich möchte dies nun beweisen. Dachte das würde am besten mit vollständiger Induktion gehen.
Also:
Induktionsanfang für n= 7
7! [mm] \ge 3^{7} \Rightarrow [/mm] 5040 [mm] \ge [/mm] 2187
so, wenn dies für n= k gilt, muss es auch für n= k+1 gelten,
also
(k+1)! [mm] \ge 3^{k+1}
[/mm]
(k+1)! [mm] \ge 3^k [/mm] * 3
(k+1)! [mm] \ge [/mm] k! * 3
K! * (k+1) [mm] \ge [/mm] k!* 3
k +1 [mm] \ge [/mm] 3
-> wahre aussage für k= 7
kann man das so machen? Ich weiss dass das eigtl. nicht richtig sein kann, aber
ich habe schon lange keine Induktionsbeweise geführt, und eigentlich
darf man da ja auch immer nur eine Seite verändern, vorallem bin ich mir bei dem Schritt statt [mm] 3^{k} [/mm] die k! einzusetzen unsicher, denn das kommt ja aus einer ungleichung und aus keiner gleichung.
kann mir jemand helfen?
danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mi 30.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung n!
> [mm]\ge 3^{n}[/mm] ?
> Hallo,
>
> für welche n das gilt, ist ziemlich schnell klar, wenn man
> die Zahlen einsetzt und zwar für [mm]n\ge[/mm] 7.
>
> Ich möchte dies nun beweisen. Dachte das würde am besten
> mit vollständiger Induktion gehen.
>
> Also:
>
> Induktionsanfang für n= 7
>
> 7! [mm]\ge 3^{7} \Rightarrow[/mm] 5040 [mm]\ge[/mm] 2187
>
> so, wenn dies für n= k gilt, muss es auch für n= k+1
> gelten,
> also
>
> (k+1)! [mm]\ge 3^{k+1}[/mm]
> (k+1)! [mm]\ge 3^k[/mm] * 3
> (k+1)! [mm]\ge[/mm] k! * 3
?????????????????
> K! * (k+1) [mm]\ge[/mm] k!* 3
> k +1 [mm]\ge[/mm] 3
>
> -> wahre aussage für k= 7
>
> kann man das so machen?
Nein . Die Zeile über ????????????? ist nicht nachzuvollziehen
Den Induktionsanfang hast Du schon gemacht.
Induktionsvor.: Sei k [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 7 und $k! [mm] \ge 3^k$
[/mm]
k [mm] \to [/mm] k+1:
$(k+1)! = k! (k+1) [mm] \ge 3^k(k+1) [/mm] = [mm] k3^k+3^k \ge 3*3^k [/mm] = [mm] 3^{k+1}$
[/mm]
FRED
> Ich weiss dass das eigtl. nicht
> richtig sein kann, aber
> ich habe schon lange keine Induktionsbeweise geführt, und
> eigentlich
> darf man da ja auch immer nur eine Seite verändern,
> vorallem bin ich mir bei dem Schritt statt [mm]3^{k}[/mm] die k!
> einzusetzen unsicher, denn das kommt ja aus einer
> ungleichung und aus keiner gleichung.
>
> kann mir jemand helfen?
>
> danke!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mi 30.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke,
nun weiss ich wieder wie das mit der richtung funktioniert!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katja,
> danke,
>
> nun weiss ich wieder wie das mit der richtung
> funktioniert!
ein Tipp am Rande:
Gewöhne Dir bitte an, mathematische Symbole zu verwenden. Insbesondere der Folgepfeil [mm] ($\Rightarrow$, $\Leftarrow$) [/mm] ist in der Mathematik wichtig, um überhaupt einen Beweis vernünftig lesen zu können; also bei Beweisen so gut wie unerläßlich (es sei denn, Du beschreibst es in Worten, denn der Folgepfeil ist ja eh nur als Abkürzel dafür gedacht).
Generell:
Ferner ist zu beachten, dass Du aus einer wahren Aussage die Behauptung zu folgern hast, und nicht umgekehrt.
Wenn eine Aussage [mm] $B\,$ [/mm] zu beweisen ist, und die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] als wahr bekannt ist, und gehen wir mal davon aus, dass mithilfe von [mm] $A\,$ [/mm] die Aussage [mm] $B\,$ [/mm] als wahr erkannt werden kann, so hat der Beweis die Struktur
$$A [mm] \Rightarrow \ldots \Rightarrow B\,.$$
[/mm]
Es bringt Dir nichts, wenn Du etwas wie
$$B [mm] \gdw [/mm] C$$
und dann $C [mm] \Rightarrow [/mm] A$ beweisen kannst. Denn dann hätte man nur
[mm] $$(\star)\;\;\;B \gdw [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] A$$
bisher erkannt, woraus man zwar ablesen könnte, dass $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt, aber es wäre $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ keineswegs klar, da die Richtigkeit der Folgerung $C [mm] \Leftarrow [/mm] A$ in [mm] $(\star)$ [/mm] nicht erkennbar ist (nur die von $C [mm] \Rightarrow [/mm] A$ ist in [mm] $(\star)$ [/mm] erkennbar, und wegen $B [mm] \Rightarrow [/mm] C$ wäre damit dann auch die Richtigkeit $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ aus [mm] $(\star)$ [/mm] ablesbar).
Und ein Beispiel, wo Du hoffentlich nach und nach erkennst, dass das ganze auch seinen Sinn hat und es auch hilft, einen Beweis wirklich zu verstehen:
Ich behaupte: Für $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
Aus [mm] $x^2=y^2$ [/mm] folgt [mm] $x=y\,.$
[/mm]
Wenn man das einfach durchrechnet (Schmierzettelmäßig):
[mm] $x^2=y^2$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2=0$
[/mm]
$(x+y)*(x-y)=0$
Daraus folgt dann $x=y$ oder [mm] $x=-y\,,$ [/mm] und der letzte Fall kann wegen $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ nur für x=y=0 eintreten. Aber was wurde oben gerechnet? Da steht einfach nur eine Aneinanderreihung von Gleichungen. In welchem Zshg. stehen die denn zueinander?
Sinnvollerweise würde man die Rechnung so aufschreiben:
[mm] $x^2=y^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(x+y)*(x-y)=0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x=y$ oder $x=-y$
[mm] $\underset{\substack{\text{wg. }x,y \ge 0\text{ gilt }\\x=-y \Rightarrow x=y=0}}{\Longrightarrow}$
[/mm]
[mm] $x=y\,.$
[/mm]
Du siehst, dass hier der eigentlich Beweis von [mm] $x^2=y^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $x=y$ (für $x,y [mm] \ge [/mm] 0$) dann eigentlich so aussieht:
[mm] $x^2=y^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$(x+y)*(x-y)=0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x=y$ oder $x=-y$
[mm] $\underset{\substack{\text{wg. }x,y \ge 0\text{ gilt }\\x=-y \Rightarrow x=y=0}}{\Longrightarrow}$
[/mm]
[mm] $x=y\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
