Ungleichungen mit Betrag < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 22.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Bei diesen Ungleichungen weiß ich leider nicht wie ich vorzugehen haben.
Auf die angegebene Lösungen komme ich einfach nicht.
Kann mir hier jemand helfen und erklären was zu tun ist?
DANKE!!
[mm] \vmat{x} \le \bruch{2x}{ \vmat{ x-3} }
[/mm]
Und die zweite:
[mm] \bruch{5x+4}{5 x^{2}-6x+1}< \bruch{1}{x-2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Fr 22.07.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
nehmen wir uns mal das erste Problem vor: Bei Ungleichungen muß man bedenken, daß sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn man mit negativen Werten multipliziert. (x-3)Betrag ist immer positiv, also kann ich damit malnehmen, dann steht da
xBetrag mal (x-3)Betrag kleinergleich 2x
Wie kann ich links die Beträge loswerden? Wenn x und x-3 beide kleinergleich 0 sind und wenn x und x-3 beide größergleich 0 sind, kann ich sie einfach weglassen. Das ist der Fall für x kleinergleich 0 und für x größergleich 3. Für x dazwischen muß ich das Vorzeichen umkehren, wenn ich die Beträge weglasse. Ich würde mir jetzt mal eine Skizze machen! (Geht hier leider nicht!) Jetzt kann mir überlegen oder angucken, wann dieser Graph unterhalb von y = 2x liegt. Ich rechne aus, wo die Schnittpunkte sind. Da müßte 0, 1 und 5 rauskommen. Und zwischen 1 und 5 gilt die anfängliche Ungleichung, wobei noch zu bedenken ist, daß das Ding für 3 überhaupt nicht definiert ist.
Reicht das soweit schon?
Im 2. Teil muß man entsprechend vorgehen und sich überlegen, wo die auftauchenden Terme positiv oder negativ sind und dann entsprechende Fallunterscheidungen anstellen.
Wenn das so noch nicht reicht, mache ich frühestens Montag weiter.
Bis dann!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Fr 22.07.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich habe mich mal drangesetzt und es versucht. Habe auch eine Lösung, die einleuchtend klingt. Ich hoffe es ist richtig.
1. Aufgabe
Man muss zu allererst immer eine Fallunterscheidung für die Beträge machen, denn das was in den Beträgen steht kann positiv oder negativ sein. Im 1. Fall geht man davon aus das |x-3 | > 0 ist und |x | > 0 ist. Das bedeutet ich gehe davon aus das x > 3 und x > 0 ist. Dann multipliziere ich mit x-3 durch, löse nach x auf und erhalte dann x [mm] \le5. [/mm] Die 1. Lösungsmenge wäre also demnach x [mm] \in]3;5[. [/mm] Die 3 natürlich ausgeschlossen, da der Term für x = 3 nicht definiert ist.
Im 2. Fall gehe ich nun davon aus das, |x-3 | [mm] \le0 [/mm] und |x | [mm] \le0 [/mm] ist. Das heißt ich multipliziere die beiden Beträge mit -1 durch (nicht vergessen das Ungleichheitszeichen umzudrehen) und erhalte dann wenn ich nach x aufgelöst habe x [mm] \ge3 [/mm] und x [mm] \ge0. [/mm] Nun multipliziere ich meinen ganzen Term wieder mit (x-3) durch, doch zuerst muss ich vor den Betrag genauso wie bei der Fallunterscheidung gerade eben die Klammer und auch das x auf der linken Seite erst mit -1 multiplizieren, da ich ja davon ausgehe, dass beide nun kleiner 0 sind. Nach dem durchmultiplizieren und nach x auflösen erhalte ich dann wieder x [mm] \le5. [/mm] Die Lösungsmenge entspricht also der 1. Lösungsmenge.
Eigentlich müsste ich noch zwei weitere Fälle durchspielen in denen einmal |x-3 | [mm] \ge0 [/mm] ist und |x | [mm] \le0 [/mm] ist. Im vierten Fall genau anders herum, doch das kann man sich sparen. Wenn man wieder sauber nach x auflöst und dann jeweils seine Ungleichung richtig durchmultipliziert und dabei auch an den richtigen Stellen vorher nicht vergisst den jeweils richtigen Betrag mit -1 zu multiplizieren, dann erhält man als Lösungsmenge des 3. und 4. Falles ]3; [mm] \infty[. [/mm] Die gesamte und schließliche Lösungsmenge ist die Kombination von alles Lösungsmengen und die ist dann x [mm] \in]3;5[.
[/mm]
So ich hoffe das es nachvollziehbar ist und auch richtig ist. Ich habe es auch mit meinen Lösungsmenge überprüft und die Ungleichung hat jedesmal gestimmt.
Nun noch zu der zweiten Aufgabe.
Diese geht eigentlich genauso, nur das man am Anfang wenn man mit x-2 durchmultipliziert man genauso überprüfen muss, ob es positiv oder negativ ist und dafür auch eine Fallunterscheidung machen. Und ausserdem darf man nicht vergessen im weiteren Verlauf auch noch zu überprüfen, ob der quadratische Term im Zähler auf der linken Seite positiv oder negativ ist und dafür auch noch eine Fallunterscheidung zu machen. Ich habe ganz zum Schluss die Lösungsmenge raus. x [mm] \in] \bruch{1}{5};1[ \cup]2; \infty[. [/mm] Ich hoffe das es stimmt, habe es aber ebenfalls überprüft und es hat auch gestimmt.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Sa 23.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo clwoe,
deine Fallunterscheidungen machen für mich nicht wirklich viel Sinn, außerdem fehlt in der Lösungsmenge offensichtlich die 0, deshalb hier mal die "richtigere" Version im Kurzüberblick:
drei Fälle sind zu betrachten, denn dies sind die Intervalle, wo sich dir Betragstriche auf den Therm auswirken können.
1) x<0
2) [mm] $0\le [/mm] x < 3$
3) 3<x
im ersten Fall entsteht durch Umformung die Ungleichung : [mm] $(x-5)x\le [/mm] 0$
Und weil ein Produkt genau dann kleiner gleich 0 ist, wenn beide Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben (oder mind. einer 0 ist), kommen hier nur alle x aus [0,5] in Frage - wir haben aber vorrausgesetzt, dass x<0 ist, deshalb ist die Lösungsmenge für diesen Fall leer !
zweiter fall: analog kommt raus: [mm] $(5-x)x\le [/mm] 0$ und deshalb kommen nur alle x in Frage , wo entweder [mm] $x\ge [/mm] 5$ oder $ [mm] x\le [/mm] 0 $
wir hatten aber vorrausgesetzt, dass x in [0,3[ liegt und deshalb ist {0} unsere Lösungsmenge in diesem Fall.
dritter Fall : analog kommt raus: [mm] $(x-5)x\le [/mm] 0$ und deshalb kommen nur alle x in Frage , die in [0,5] liegen, aber nach Vorraussetzung betrachten wir nur alle x in ]3,5] und eben deshalb ist dies unsere Lösungsmenge in diesem Fall.
Zusammenfassen aller Lösungsmengen ergibt: $ [mm] \{ 0 \} \cup [/mm] ] 3,5 ]$
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 23.07.2005 | | Autor: | annaL |
@ clwoe:
Hallo!
Die Lösungsmenge bei dir bei der 2.Aufgabe stimmt genau. Könntest du sie mir bitte einmal vorrechnen?
Ich habe nun bestimmt schon 20 Blätter vollgeschrieben und bekomme am Ende immer raus:
-8<1.
Und nichts anderes!
Das wäre voll lieb, bin der Verzweifelung nahe! :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 23.07.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
das was du rausbekommst ist absolut richtig.
Ich versuche sie vorzurechnen.
[mm] \bruch{5x+4}{5x^2-6x+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2}
[/mm]
Der erste Schritt ist nun immer mit x-2 zu multiplizieren.
Danach mit der quadratischen Gleichung beide Seiten multiplizieren.
Deshalb Fallunterscheidung, da man ja nicht weiss was x-2 sein wird.
1. Fall
x-2>0 [mm] \wedge 5x^2-6x+1>0
[/mm]
x>2 [mm] \wedge [/mm] (x-1)(x- [mm] \bruch{1}{5})>0 [/mm] (in faktorisierter Form)
x>2 [mm] \wedge [/mm] x-1>0 [mm] \wedge [/mm] x- [mm] \bruch{1}{5}>0
[/mm]
x>2 [mm] \wedge [/mm] x>1 [mm] \wedge x>\bruch{1}{5}
[/mm]
gleichzeitig noch für die quadratische Ungleichung
x-1<0 [mm] \wedge x-\bruch{1}{5}<0
[/mm]
x<1 [mm] \wedge x<\bruch{1}{5}
[/mm]
Das waren alle Fallüberprüfungen für den 1. Fall.
Nun rechnen.
[mm] \bruch{5x+4}{5x^2-6x+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] / *(x-2)
[mm] \bruch{(5x+4)*(x-2)}{5x^2-6x+1}< [/mm] 1
[mm] \bruch{5x^2-6x-8}{5x^2-6x+1}<1 [/mm] / [mm] *(5x^2-6x+1)
[/mm]
[mm] 5x^2-6x-8<5x^2-6x+1 \Rightarrow [/mm] -8<1 [mm] \Rightarrow [/mm] {w} [mm] \Rightarrow [/mm] Lösungsmenge Nr. 1 lautet: ]2; [mm] \infty[.
[/mm]
Denn laut unseren Einschränkungen, die wir ganz am Anfang oben gemacht haben kannst du jetzt sehen wenn du die Einschränkungen alle miteinander vergleichst das nur diese Lösungsmenge rauskommen kann.
Nun zum 2. Fall
Du machst es genauso wie oben, nur das jetzt
x-2<0 [mm] \wedge 5x^2-6x+1<0
[/mm]
x<2 [mm] \wedge [/mm] (x-1)(x- [mm] \bruch{1}{5})<0 [/mm] (in faktorisierter Form)
x<2 [mm] \wedge [/mm] x-1>0 [mm] \wedge [/mm] x- [mm] \bruch{1}{5}<0
[/mm]
x<2 [mm] \wedge [/mm] x>1 [mm] \wedge [/mm] x< [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
gleichzeitig noch andersherum:
x<2 [mm] \wedge [/mm] x-1<0 [mm] \wedge [/mm] x- [mm] \bruch{1}{5}>0
[/mm]
x<2 [mm] \wedge [/mm] x<1 [mm] \wedge [/mm] x> [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Das waren alle Fallüberprüfungen für den 2. Fall.
Nun rechnen.
[mm] \bruch{5x+4}{5x^2-6x+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] / *(x-2)
nun Ungleichheitszeichen rumdrehen, da x-2 nun negativ vorausgesetzt.
[mm] \bruch{(5x+4)*(x-2)}{5x^2-6x+1}> [/mm] 1
[mm] \bruch{5x^2-6x-8}{5x^2-6x+1}>1 [/mm] / [mm] *(5x^2-6x+1)
[/mm]
nun Ungleichheitszeichen wieder rumdrehen, da [mm] 5x^2-6x+1 [/mm] nun auch negativ ist.
Am Ende erhälst du wieder -8<1 [mm] \Rightarrow [/mm] {w} [mm] \Rightarrow [/mm] 2. Lösungsmenge lautet ] [mm] \bruch{1}{5};1[.
[/mm]
Wenn du wieder die oben genannten Einshcränkungen für den 2. Fall nimmst und sie miteinander kombinierst siehst du das nur diese Lösungsmenge rauskommen kann.
Fall 3 und 4 brauchst du wie schon gesagt nicht, da bei der Auflösung der Ungleichung unter den vorausgesetzten Bedingungen falsche Aussagen ruaskommen.
Ich hoffe ich habe es jetzt richtig und auch für dich verständlich erklärt und hoffe du kannst es nachvollziehen.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 23.07.2005 | | Autor: | annaL |
DANKE!!!!
Super dass du dir so viel mühe machst. Werde mir das ganze nun anschauen und dann hoffentlich verstehen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 23.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo nochmal.
2 Sachen gibt es noch wo ich dennoch hänge:
Wo kommt beim 1.Fall die (x-1)(x- [mm] \bruch{1}{5}) [/mm] > 0 her????
Und : Wieso ist die lösungsmenge bei fall1 2 und [mm] \infty [/mm] und nicht 1,2 und 1/5????
Das lkeuchtet mir immernoch nicht ein!
DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 24.07.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
die (x-1)(x- [mm] \bruch{1}{5}) [/mm] kommt daher, dass ich den quadratischen Term auf der linken Seite gelöst habe indem ich ihn gleich 0 gesetzt habe. Denn wenn ich mit ihm durchmultipliziere dann darf er ja nicht 0 sein, weil im Nenner kein 0 stehen darf. Also habe ich die Lösung wann er 0 wird berechnet und es in faktorisierter Form hingeschrieben.
Die Lösungsmenge von 2 bis unendlich kommt daher das ich ja < habe und kein =. Deshalb kann ja nicht der genaue Wert rauskommen sondern nur ein Intervall.
Ich hoffe es ist jetzt klarer geworden.
gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 23.07.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo DaMenge,
du hast recht, die 0 gehört natürlich noch zur Lösungsmenge dazu, habe ich vergessen.
Gruß,
clwoe
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