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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Gerd52 |
Hallo Liebe Mathefreunde,
ich habe ein Problem mit einer Ungleichung.
[mm] |(x^2/2)-5 [/mm] | [mm] \le [/mm] 3
ich komme leider zu widersprüchlichen lösungen. um eine ungleichung aufzulösen muss man eine fallunterscheidung vollziehen. nur habe ich gelesen, das man beim radizieren auch wieder eine fallunterscheidung machen muss. vielleicht kann mir einer die aufgabe mal vorrechnen und die fallunterscheidung in diesem beispiel erklären und die lösungsmenge angeben.
meine rechnung und ich weiß nicht weiter...
ich schreibe: [mm] 0,5x^2-5 \le [/mm] 3
[mm] 1.fall:0,5x^2 [/mm] -5 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] x^2 \le10 [/mm]
ab hier weiß ich nicht weiter...soll es 3,2 sein oder muss ich wieder eine fallunterscheidung machen, da hier radiziert wird?
ich gehe mal von einer 3,2 aus.
also geht es weiter:
[mm] 0,5x^2 [/mm] -5 [mm] \le [/mm] 3
[mm] x^2 \le [/mm] 16
und hier das gleiche, entweder das ergebnis ist 4 oder ich muss wieder eine fallunterscheidung machen, da hier wieder radiziert wird.
wenn ich immer eine fallunterscheidung beim radizieren mache, dann bekomme ich keine vernünftige lösungsmenge...
das gleiche gilt jetzt für [mm] 0,5x^2 [/mm] -5 < 0
ich bedanke mich um jede hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Gerd!
Es wäre viel schöner, wenn Du uns Deine bisherigen Lösungsergebnisse hier mal mitteilen würdest, damit wir evtl. Fehler finden können.
Von "Vorrechnen" wird hier im MatheRaum nämlich nicht sehr viel gehalten.
Der Ansatz mit den Fallunterscheidungen klingt doch schon mal ganz gut ...
Gruß vom
Roadrunner
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nur so als idee
-3 [mm] \le \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - 5 [mm] \le [/mm] 3
und weiter, wahrscheinlich nach x aufösen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gerd!
> Hallo Liebe Mathefreunde,
> ich habe ein Problem mit einer Ungleichung.
> [mm]|(x^2/2)-5[/mm] | [mm]\le[/mm] 3
Wenn du mal in den Tipp von Mistermarc schaust:
Es gilt:
[mm]\left|\frac{x^2}{2}-5\right| \le 3[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]-3 \le \frac{x^2}{2}-5 \le 3[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
1.)[mm]-3 \le \frac{x^2}{2}-5[/mm] und 2.)[mm]\frac{x^2}{2}-5 \le 3[/mm]
Jetzt haben wir im Prinzip zwei Lösungsmengen zu bestimmen, und zwar die Lösungsmenge für 1.) (ich nenne sie [mm] $\IL_1$) [/mm] und die Lösungsmenge für 2.) (ich nenne sie [mm] $\IL_2$). [/mm] Danach mußt du noch, weil ja 1.) und 2.) erfüllt sein müssen, [mm] $\IL_1$ [/mm] und [mm] $\IL_2$ [/mm] schneiden (die Schnittmenge [mm] $\IL=\IL_1 \cap \IL_2$ [/mm] ist dann die Lösungsmenge der Gleichung [mm]\left|\frac{x^2}{2}-5\right| \le 3[/mm]).
Ich rechne dir mal die Lösungsmenge [mm] $\IL_1$ [/mm] für 1.) vor, [mm] $\IL_2$ [/mm] versuchst du bitte erstmal alleine zu berechnen:
Also zu [mm] $\IL_1$:
[/mm]
Es gilt:
[mm]-3 \le \frac{x^2}{2}-5[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2 [mm] \le \frac{x^2}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x^2 \ge [/mm] 4$.
So, und nun gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten, weiterzurechnen:
Möglichkeit a):
[mm] $x^2 \ge [/mm] 4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$|x| [mm] \ge [/mm] 2$ (beachte: [mm] $\wurzel{x^2}=|x|$ [/mm] sowie [mm] $\wurzel{4}=2$; [/mm] beachte auch, dass die [mm] $\wurzel{\;}$-Fkt. [/mm] auf [mm] $[0,\;\infty[$ [/mm] (streng) monoton wachsend ist!)
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \le [/mm] -2$ oder $x [mm] \ge [/mm] 2$.
Möglichkeit b):
[mm] $x^2 \ge [/mm] 4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x^2-4 \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(x+2)(x-2) [mm] \ge [/mm] 0$ (3e binomische Formel!)
[mm] $\gdw$
[/mm]
($x+2 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x-2 [mm] \ge [/mm] 0$) oder ($x+2 [mm] \le [/mm] 0$ und $x-2 [mm] \le [/mm] 0$)
[mm] $\gdw$
[/mm]
($x [mm] \ge [/mm] -2$ und $x [mm] \ge [/mm] 2$) oder [mm] ($x\le [/mm] -2$ und $x [mm] \le [/mm] 2$)
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \ge [/mm] 2$ oder $x [mm] \le [/mm] -2$.
Aber egal, ob du nun Möglichkeit a) oder b) rechnest, am Ende erhältst du stets:
[mm]-3 \le \frac{x^2}{2}-5[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \le [/mm] -2$ oder $x [mm] \ge [/mm] 2$.
Damit ergibt sich [mm] $\IL_1$ [/mm] zu:
[mm]\IL_1=\left\{x \in \IR:\;x \le -2\right\} \cup \left\{x \in \IR:\;x \ge 2\right\}=]-\infty,\;-2] \cup [2,\;\infty[[/mm]
(Das heißt nun genauer:
[mm]-3 \le \frac{x^2}{2}-5[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in \IL_1=]-\infty,\;-2] \cup [2,\;\infty[$.)
[/mm]
So, und nun bist du an der Reihe:
Berechne zunächst [mm] $\IL_2$. [/mm] Und wenn du das hast, dann berechne weiter:
[mm] $\IL=\IL_1 \cap \IL_2$
[/mm]
(Am Ende weißt du dann:
Es gilt:
[mm]\left|\frac{x^2}{2}-5\right| \le 3[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in \IL=\IL_1 \cap \IL_2$.)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Gerd52 |
also das hilft mir schon wirklich weiter...ich werde mich nachher mal an die aufgabe machen und bedanke mich wirklich ganz herzlichst.
Gruß
Gerd
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