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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 16.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Lösen Sie die Ungleichungen
(1) [mm] ||x+1|-2|\le2 [/mm]
(2) [mm] |2x-5|\ge|4x-7| [/mm] und
(3) [mm] |x+1|-|x-1|\ge1 [/mm] für [mm] x\in [/mm] IR
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Hinweis:
Aufgabe 2und 3 mittels Fallunterscheidung.
Erstmal zur ersten:
[mm] ||x+1|-2|\le2 [/mm]
auf der echten Seite steht nur die 2 ohne x...das hat mich durcheinander gebracht, genauso wie ||x+1|-2|, kann ich nicht einfach 1-2=-1 nehmen?
also erstmal in die Betragsdefinition einstetzen:
|x+1| [mm] =\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge0 \\ -(x-1), & \mbox{für }x-1<0 \mbox{}\end{cases}
[/mm]
|2| [mm] =\begin{cases} 2, & \mbox{für } 2\ge0 \mbox{} \\ -2, & \mbox{für } -2<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ist das erstmal soweit richtig?
dann hätt ich
[mm] ||x+1|-2|\le2 [/mm]
[mm] \gdw x-1\le|2| [/mm] und -(x-1)<|2|
[mm] \gdw [/mm] (x-1<2 oder x-1< -(2)) und (1-x<2 oder 1-x <-(2))
...?
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Hallo Feiratos,
die Betragsungleichungen haben's dir aber angentan, was?
Du müsstest ja schon beinahe davon träumen 
Also:
> Lösen Sie die Ungleichungen
>
> (1) [mm]||x+1|-2|\le2[/mm]
>
> (2) [mm]|2x-5|\ge|4x-7|[/mm] und
>
> (3) [mm]|x+1|-|x-1|\ge1[/mm] für [mm]x\in[/mm] IR
>
> Hinweis:
>
> Aufgabe 2und 3 mittels Fallunterscheidung.
>
> Erstmal zur ersten:
>
> [mm]||x+1|-2|\le2[/mm]
>
> auf der echten Seite steht nur die 2 ohne x...das hat mich
> durcheinander gebracht, genauso wie ||x+1|-2|, kann ich
> nicht einfach 1-2=-1 nehmen?
>
> also erstmal in die Betragsdefinition einstetzen:
>
>
> |x+1| [mm]=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge 0 \\ -(x-1), & \mbox{für }x-1<0 \mbox{}\end{cases}[/mm]
>
> |2| [mm]=\begin{cases} 2, & \mbox{für } 2\ge 0 \mbox{} \\ -2, & \mbox{für } -2<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
$|2|=2$, aber für die rechte Seite brauchst du keine Betragsuntersuchung, da steht doch bloß ne 2 ohne sonst was dabei
>
> ist das erstmal soweit richtig?
Ich denke nicht, du musst den dicken Betrag auflösen:
[mm] $||x+1|-2|=\begin{cases} |x+1|-2, & \mbox{für } |x+1|-2\ge 0 \\ -\left(|x+1|-2\right), & \mbox{für } |x+1|-2<0 \end{cases}$
[/mm]
Das ist die Betragsdefinition, das nun weiter vereinfachen und auflösen:
[mm] $=\begin{cases} |x+1|-2, & \mbox{für } |x+1|\ge 2 \\ 2-|x+1|, & \mbox{für } |x+1|<2 \end{cases}$
[/mm]
[mm] $=\begin{cases} |x+1|-2, & \mbox{für } x\ge 1 \ \vee \ x\le -3 \\ 2-|x+1|, & \mbox{für } -3
Nun musst du noch entsprechend den hier nötigen Fällen für x das $|x+1|$ auflösen
Fall (1) ist: [mm] $x\ge [/mm] 1 \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x\le [/mm] -3$
(1a) [mm] $x\ge [/mm] 1$ Dann ist $|x+1|=x+1$.
Dann ist die Ausgangsungleichung [mm] $||x+1|-2|\le [/mm] 2$ äquivalent zu [mm] $|x+1|-2\le [/mm] 2$ und das ist äquivalent zu [mm] $(x+1)-2\le [/mm] 2$, also [mm] $x\le [/mm] 3$
Insgesamt haben wir für diesen Fall also [mm] $x\ge [/mm] 1$ und [mm] $x\le [/mm] 3$, also [mm] $x\in[1,3]$
[/mm]
(1b) [mm] $x\le [/mm] -3$ Dann ist $|x+1|=....$
Fall (2): $-3<x<2$
Hier musst du dann Unterfälle betrachten, je nachdem wie in diesem Intervall $|x+1|$ aussieht, denn du willst ja das $|x+1|$ weiter aufdröseln
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 16.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Ok, dann werde ich mich mal ran machen..
ja ich schreibe bald eine Prüfung in AnalysisI, durch privaten Stress komm ich jetzt erst zum Üben,und kaue da halt die ganzen Übungsblätter durch...
viele Grüße
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