Ungleichungen auswerten < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (x+3)<\bruch{x+18}{3x-2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Verzeiht im Vorfeld, wenn hier irgendwas falsch ist, aber das ganze ist doch recht unübersichtlich. Funktioniert die Seite nicht anständig mit Firefox?
Wie dem auch sei und zwar habe ich so meine Problemchen mit Ungleichungen. Nicht, wie man an den Punkt gelangt die PQ-Formel anzuwenden, sondern was man macht, nachdem man x1/2 herausgefunden hat.
Deswegen habe ich einfach mal das Beispiel ausgewählt:
(x+3) < [mm] \bruch{x+18}{3x-2}
[/mm]
Definitionsbereich: x [mm] \in \IR [/mm] ohne [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Fallunterscheidung:
3x-2 > 0
[mm] \gdw [/mm] 3x > 2
[mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
(x+3)(3x-2)-x-18>0
[mm] \gdw x^{2}+2x-8>0
[/mm]
PQ liefert x1 = 2 und x 2 = -4
Fall 2: x < [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
...
[mm] x^{2}+2x-8 [/mm] < 0
PQ würde natürlich wieder dasgleiche liefern und mein Problem fängt jetzt an.
Wie verwandel ich meine ergebnisse möglichst ohne den Graph zu skizzieren in eine schöne Lösung.
Also wenn ihr da ein paar einleuchtende Herangehensweisen hättet, wäre mir geholfen.
Grüße und Dank
Matt
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> [mm](x+3)<\bruch{x+18}{3x-2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Verzeiht im Vorfeld, wenn hier irgendwas falsch ist, aber
> das ganze ist doch recht unübersichtlich. Funktioniert die
> Seite nicht anständig mit Firefox?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich verwende Firefox, und bei mir funktioniert sie anständig.
Interessieren würde mich, was Du unübersichtlich findest. Wenn Du auskunftsbereit bist, dann gerne per PN, damit muß der Mathematikteil nicht belastet werden, oder noch besser hier, wo vielleicht andere User auch etwas dazu sagen mögen.
>
> Wie dem auch sei und zwar habe ich so meine Problemchen mit
> Ungleichungen. Nicht, wie man an den Punkt gelangt die
> PQ-Formel anzuwenden, sondern was man macht, nachdem man
> x1/2 herausgefunden hat.
>
> Deswegen habe ich einfach mal das Beispiel ausgewählt:
>
> (x+3) < [mm]\bruch{x+18}{3x-2}[/mm]
>
> Definitionsbereich: x [mm]\in \IR[/mm] ohne [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
> 3x-2 > 0
Das ist schonmal gut!
> [mm]\gdw[/mm] 3x > 2
> [mm]\gdw[/mm] x > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> (x+3)(3x-2)-x-18>0
Das ist verkehrt, Wenn x> [mm]\bruch{2}{3}[/mm], dann ist der Nenner positiv, und das Ungleichungszeichen verändert sich bei der Multiplikation nicht.
Richtig hättest Du hier
[mm] (x+3)(3x-2)-x-18\red{<} [/mm] 0
> [mm]\gdw x^{2}+2x-8\red{<}0[/mm]
>
> PQ liefert x1 = 2 und x 2 = -4
Nein. Du hast es oben ja mit einer Ungleichung zu tun, von daher ist kaum zu erwarten, daß Du x1 = 2 und x 2 = -4 erhältst.
Ich schreibe [mm] x^{2}+2x-8\red{<}0 [/mm] mal mit quadratischer Ergänzung auf, da sieht man besser, wie es geht:
[mm] x^{2}+2x-8\red{<}0
[/mm]
==> [mm] x^2+2x+1\red{<}9
[/mm]
==> [mm] (x+1)^2\red{<}9.
[/mm]
Hier siehst Du recht gut, daß daß der Fall ist für und -3< x+1<3, also [mm] x\in [/mm] ]-4, 2[
Da Du von vornherein hier nur solche x betrachtest, die > [mm] \bruch{2}{3} [/mm] sind, weißt Du nun, daß in diesem Bereich die Gleichung gelöst wird für [mm] x\in ]\bruch{2}{3},2[
[/mm]
> Fall 2: x < [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Hier multiplizierst Du mit einer negativen Zahl, also ist das Ungleichungszeichen zu drehen.
>
> ...
> [mm]x^{2}+2x-8[/mm] [mm] \red{>} [/mm] 0
> PQ würde natürlich wieder dasgleiche liefern und mein
> Problem fängt jetzt an.
Jetzt wie oben:
[mm] x^{2}+2x-8>0
[/mm]
==> [mm] x^2+2x+1>9
[/mm]
==> [mm] (x+1)^2>9.
[/mm]
Also ist x+1>3 oder x+1< -3, dh.
x>2 oder x<-4.
Wir betrachten hier aber nur x mit x < [mm]\bruch{2}{3}[/mm].
Also scheidet der eine Teil des Bereiches aus, und wir haben hier [mm] x\in ]-\infty, [/mm] -4[
Gruß v. Angela
>
> Wie verwandel ich meine ergebnisse möglichst ohne den Graph
> zu skizzieren in eine schöne Lösung.
>
> Also wenn ihr da ein paar einleuchtende Herangehensweisen
> hättet, wäre mir geholfen.
>
> Grüße und Dank
> Matt
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> Nein. Du hast es oben ja mit einer Ungleichung zu tun, von
> daher ist kaum zu erwarten, daß Du x1 = 2 und x 2 = -4
> erhältst.
Genau das ist ja mein Problem. An die quadratische Ergänzung hab' ich nicht gedacht und du hast recht, dass es für dieses Beispiel sehr effizient ist, aber was mache ich nun mit meinen Ergebnissen aus der PQ?
Sie geben mir die Nullstellen an - das ist gut das kann ich dann schonmal auisschließen, aber ich finde keinen effektiven weg aus x = 2; x = -4 auf x > 2; x < -4 oder dergleichen zu kommen.
Aus dem Bauch heraus bin ich mir jetzt nicht sicher, ob sich die quadratische Ergänzung immer benutzen lässt um auf ein anständiges Ergebnis zu kommen.
Wenn es praktisch immer funktioniert, dann erübrigt sich die Frage, da ich dann einfach auf die Mitternachtsformel verzichte.
Verzeih mir, dass ich bei den < > weiter oben geschludert habe. Auf meinem Papyrus steht es korrekt und jetzt hattest du unnötige Arbeit - ich passe das nächste mal besser auf.
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Deine p-q-Formel bringt dir insofern etwas, da du damit das Polynom in seine Nullstellen zerlegen kannst.
Bei Quadratischen Polynomen kannst du dir sehr einfach überlegen, für welche Werte dann > 0, <0 gilt.
Bei nach oben geöffneten Parabeln gilt halt zwischen den Nullstellen < 0, ansonsten > 0 und bei nach unten geöffneten Parabeln umgekehrt.
MfG,
Gono.
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Ok als reiner Test
Die Fallunterscheidung sagt x > 2
Irgendeine Quadratische:
x²+4x-21>0
Die ist nach oben geöffnet so und jetzt:
(x+7)(x-3)>0
(PQ liefert x=-7 u. x=3)
Dann kommt da quasi raus als Lösung in dem Fall x>3, da -7 < 2 ist.
x²+4x-21<0
von 2<x<3 aus selbiger überlegung heraus?
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