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Ich hätte eine bitte an euch. Ich kriege diese Ungleichung gelöst aber mir fehlt ein Schlußsatz. Im Buch steht es als Lösung 3 [mm] \le [/mm] x < [mm] \infty
[/mm]
Wenn ich die Aufgabe mit MathCad löse bekomme ich x<-1 ; -1 < x < 2 ; 3 [mm] \le [/mm] x
x-1 / [mm] \wurzel{x+1} \ge [/mm] 1 / [mm] \wurzel{x-2}
[/mm]
Um die Wurzeln in der Nenner loswerden quadriere ich.
(x-1) (x-1) / x+1 - 1 / x-2 [mm] \ge [/mm] 0
(x-2) [mm] (x^2-2x+1) [/mm] - (x+1) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] x^3-4x^2+4x-3 \ge [/mm] 0
[mm] x(x^2-4x+4)-3 \ge [/mm] 0
mit pq-Formel finde ich als [mm] x_{1} [/mm] = 3 und als [mm] x_{2} [/mm] = 1
Ich mach hier drei Fallunterscheidung
1.Fall x+1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -1 [mm] \wedge [/mm] x - 2 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x>2
2.Fall x+1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -1 [mm] \wedge [/mm] x - 2 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 2 [mm] \Rightarrow [/mm] -1 < x < 2 [mm] \vee [/mm] x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 [mm] \wedge [/mm] x - 2 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 2 [mm] \Rightarrow [/mm] leere Menge
3.Fall x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 [mm] \wedge [/mm] x - 2 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x <-1
Wie muss ich jetzt weiter überlegen ? Welche Antwort ist jetzt die richtige Anwort, die aus dem Buch oder die ich mit MathCad rechne. Vorallem wie bestimme ich es.
Ich hoffe diese Aufgabe macht ein oder anderen etwas spaß. 
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Lieber Loddar !
zuerst ich danke dir vielmals. Jetzt versuche ich es nocmal und dann kommen die Fragen.
x-1 / [mm] \wurzel{x+1} \ge [/mm] 1 / [mm] \wurzel{x-2}
[/mm]
(x-1) (x-1) / x+1 - 1 / x-2 [mm] \ge [/mm] 0 1. Frage "was soll ich unter die Probe verstehen ?"
(x-2) (x-1) (x-1) - (x+1) / (x+1) (x-2) [mm] \ge [/mm] 0 hier habe ich noch die Nenner.
(x-2) [mm] (x^2-2x+1) [/mm] - (x+1) / (x+1) (x-2) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] (x^3-4x^2+4x-3) [/mm] / (x+1) (x-2) [mm] \ge [/mm] 0
Ich soll jetzt eine Fallunterscheidung machen.
1.Fall: x+1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -1 [mm] \wedge [/mm] x-2 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x > 2 Also die Nenner ist stets positiv.
Jetzt multiplisiere ich die Nenner mit die Ungleichung
[mm] x^3-4x^2+4x-3 \ge [/mm] 0
(x-3) [mm] (x^2-x+1) \ge [/mm] 0 mit Hilfe der Polinomdivision
[mm] (x^2-x+1) [/mm] kann ja nur positiv sein. Also hier darf ich auch mit die Ungleichung multiplizieren
(x-3) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 3
Die Definitionsbereich D = [mm] \{ x \in R | x > 2 \} [/mm] gilt aber ja nur für den 1. Fall. Ich gehe ja davon aus das der x+1 > 0 und x-2 > 0 ist.
Für den Fall z.B wenn die Nenner x+3 und x+2 wäre , dann käme es ja sowas raus
x+3 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -3 [mm] \wedge [/mm] x +2 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > - 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x > -2
und die Möglichkeit x = -1 sein kann ist ja damit nicht ausgeschlossen . Richtig ?
Darf ich dann die Nenner nicht mit der Ungleichung multiplizieren ?
Ab hier mache ich weil ich anderes nicht drauf hab :-( Wenn es über flüssig ist nimm es bitte nicht übel
2.Fall: x+1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -1 [mm] \wedge [/mm] x-2 < 0 gdw x < -2 [mm] \Rightarrow [/mm] leere Menge
oder
x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 [mm] \wedge [/mm] x-2 > 0 gdw x > -2 [mm] \Rightarrow [/mm] leere Menge
3.Fall x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1 [mm] \wedge [/mm] x-2 < 0 gdw x < -2 [mm] \Rightarrow [/mm] x<-1
Wenn ich die Nenner mit der Ungleichung multipliziere müsste ja die Ungleichheitzeichen unverändert bleiben. Das heißt ich käme wider auf die gleiche Ergebniss, x [mm] \ge [/mm] 3
und x [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \wedge [/mm] x<-1 [mm] \Rightarrow [/mm] leere Menge
Richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bitte verwende demnächst das Formelsystem des Matheraum, denn man kann deine Texte ansonsten nur sehr schlecht lesen.
Mal abgesehen davon, dass du im zweiten und dritten Fall Fehler machst, sind diese Fälle völlig überflüssig.
Denn in beiden Fällen (2. Fall: $x>-1$ und $x<2$ und 3. Fall: $x<-1$ und $x<2$) ist die Ungleichung gar nicht definiert, da man für solche Zahlen die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen müsste.
Daher hat Loddar von vorneherein gesagt, wir brauchen uns nur um die Zahlen aus dem Definitionsbereich zu kümmern, also um die Zahlen, die man überhaupt in die Ungleichung einsetzen kann. (Dann kann man sich in diesem Fall auch am Schluss die Probe sparen.)
Wir brauchen also nur den Fall zu betrachten, wo beide Wurzelausdrücke definiert sind und man nicht durch $0$ teilen müsste. Dies ist der erste Fall: $x>-1$ und $x>2$. Beide Ungleichungen zusammen sind genau dann erfüllt, wenn $x>2$ gilt (denn dann ist $x>-1$ automatisch auch erfüllt).
Wir brauchen also ab jetzt bei allem, was wir tun, nur noch solche $x$ zu betrachten, die größer als $2$ sind. Das erleichtert die Sache und erspart Fallunterscheidungen.
Dadurch bekommt man heraus (siehe die Rechnung von Loddar), dass die Ungleichung genau dann erfüllt ist, wenn $x [mm] \ge [/mm] 3$ gilt und dies ist eine Teilmenge der Definitionsmenge, also lautet die Lösungmenge:
$L = [mm] \{x \in \IR \, : \, x \ge 3\} [/mm] = [mm] [3,+\infty)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Ciyoberti |
Danke, Danke , Danke
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Probe machen am Ende nicht vergessen, da "(Un-)Gleichung quadrieren" keine Äquivalenzumformung ist!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo ist denn hier der Nenner abgeblieben?
Polynomdivision