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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Di 01.03.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo,
ich habe ein Problem beim Lösen der Aufgabe
[mm] |x-3|-1\le 2-(x-2)^2
[/mm]
mein Ansatz:
Linke Seite +1 und rechts auch
[mm] |x-3|\le 3-(x-2)^2 [/mm] --> dann
[mm] |x-3|\le 3-(x^2-4x+4) [/mm] --> dann
[mm] |x-3|\le (-x^2+4x-4)+3 [/mm] --> ist erstmal
[mm] |x-3|\le (-x^2+4x-1) [/mm] -->
dann kommt die Fallunterscheidung
[mm] -(|x-3|\le (-x^2+4x-1)) [/mm] --> ist dann
[mm] -x+3\le (x^2-4x+1) [/mm] FALL 1
[mm] x-3\le(-x^2+4x-1) [/mm] -->
ist dann FALL 2
jetzt bringe ich ist alles was links steht nach rechts um eine quadratische Gleichung lösen zu können
FALL 1:
[mm] -x+3\le (x^2-4x+1) [/mm] --> -3 --> ist dann
[mm] -x\le(x^2-4x-2)
[/mm]
[mm] -x\le (x^2-4x-2) [/mm] --> +x -->
ist dann [mm] 0\le(x^2-3x-2)
[/mm]
Stimmt das bis hierhin
FALL 2:
[mm] x-3\le(-x^2+4x-1) [/mm] --> +3 --> ist dann
[mm] x\le(-x^2+4x+2)
[/mm]
-->
[mm] x\le(-x^2+4x+2) [/mm] --> -x --> ist dann
[mm] 0\le(-x^2+3x+2) [/mm] --> /(-1)
[mm] 0\ge(x^2-3x-2)
[/mm]
Stimmts bis hierher?
Jetzt löse ich die einzelen Quadratischen Gls auf.
und da kommt raus. Abgekürzt.
FALL 1:
x1= [mm] \bruch{3}{2}+\wurzel{\bruch{17}{4}}
[/mm]
x2= [mm] \bruch{3}{2}-\wurzel{\bruch{17}{4}}
[/mm]
FALL 2:
Ist das gleich FALL 1
Mein Problem ist das folgende, wie schreibe ich nun die Lösungsmenge L={} auf? Nebenbei ist das richtig gerechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 01.03.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo,
Hallo
> ich habe ein Problem beim Lösen der Aufgabe
>
> [mm]|x-3|-1\le 2-(x-2)^2
[/mm]
>
> mein Ansatz:
>
> Linke Seite +1 und rechts auch
>
> [mm]|x-3|\le 3-(x-2)^2[/mm] --> dann
>
> [mm]|x-3|\le 3-(x^2-4x+4)[/mm] --> dann
>
> [mm]|x-3|\le (-x^2+4x-4)+3[/mm] --> ist erstmal
> [mm]|x-3|\le (-x^2+4x-1)[/mm] -->
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann kommt die Fallunterscheidung
>
> [mm]-(|x-3|\le (-x^2+4x-1))[/mm] --> ist dann
> [mm]-x+3\le (x^2-4x+1)[/mm] FALL 1
> [mm]x-3\le(-x^2+4x-1)[/mm] -->
> ist dann FALL 2
Da ist dir glaube ich ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
Ich würde einfach meine Fallunterscheidung auf
1. $x<3 [mm] \Rightarrow [/mm] |x-3|=3-x$
2. $x>3 [mm] \Rightarrow [/mm] |x-3|=x-3$
beschränken. Damit erhälst du als Gleichungen in den beiden Fällen
1. $3-x [mm] \le -x^2+4x-1 \gdw x^2-5x+4 \le [/mm] 0$
2. $x-3 [mm] \le -x^2+4x-1 \gdw x^2-3x-2 \le [/mm] 0$.
Da es sich in dieser Form um die Funktionsgleichung von nach oben geöffneten Parabeln handelt, liegen alle $x$-Werte, die diese Ungleichungen erfüllen jeweils zwischen den Nullstellen der Parabeln. Natürlich muss zusätzlich noch die Bedingung $x<3$ bzw. $x>3$ erfüllt sein.
>
> jetzt bringe ich ist alles was links steht nach rechts um
> eine quadratische Gleichung lösen zu können
> FALL 1:
> [mm]-x+3\le (x^2-4x+1)[/mm] --> -3 --> ist dann
> [mm]-x\le(x^2-4x-2)
[/mm]
>
> [mm]-x\le (x^2-4x-2)[/mm] --> +x -->
> ist dann [mm]0\le(x^2-3x-2)
[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin
Wie gesagt, ich meine du hast hier einen Vorzeichenfehler. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> FALL 2:
> [mm]x-3\le(-x^2+4x-1)[/mm] --> +3 --> ist dann
> [mm]x\le(-x^2+4x+2)
[/mm]
> -->
> [mm]x\le(-x^2+4x+2)[/mm] --> -x --> ist dann
> [mm]0\le(-x^2+3x+2)[/mm] --> /(-1)
> [mm]0\ge(x^2-3x-2)
[/mm]
>
> Stimmts bis hierher?
Hier stimmt die Rechnung
>
> Jetzt löse ich die einzelen Quadratischen Gls auf.
> und da kommt raus. Abgekürzt.
> FALL 1:
> x1= [mm]\bruch{3}{2}+\wurzel{\bruch{17}{4}}
[/mm]
> x2= [mm]\bruch{3}{2}-\wurzel{\bruch{17}{4}}
[/mm]
>
> FALL 2:
> Ist das gleich FALL 1
Da die Gleichung für Fall 2 stimmt, hast du auch die richtigen Nullstellen gefunden. Im Fall 1 erhält man eine andere Gleichung und damit andere Lösungen (nämlich [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=4$).
[/mm]
> Mein Problem ist das folgende, wie schreibe ich nun die
> Lösungsmenge L={} auf? Nebenbei ist das richtig
> gerechnet?
Du musst halt alle die $x$-Werte auswählen, die zwischen den beiden Nullstellen liegen und die Bedingung der Fallunterscheidung erfüllen, d.h. in Fall 2 gilt Die Nullstellen sind [mm] $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2} \approx [/mm] 3,56$ und [mm] $x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx [/mm] -0,56$. Damit kommen erst einmal alle Werte mit [mm] $\frac{3-\sqrt{17}}{2} \le [/mm] x [mm] \le \frac{3+\sqrt{17}}{2}$ [/mm] in Frage. Da aber zusätzlich $x>3$ gelten soll, darf man nur Werte mit $3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \frac{3+\sqrt{17}}{2}$ [/mm] auswählen.
Jetzt kannst du ja Fall 1 noch einmal selber probieren und deine Lösung zur Kontrolle hier posten. Dort kannst du die Lösung auch erstmal in einer Ungleichung fetshalten.
Gruß Brackhaus
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