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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 31.10.2004 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
die Frage ist mir fast schon peinlich, aber ich finde für die folgende Aufgabe einfach keinen Ansatz. Vielleicht kann mir da jemand den klitzekleinen Tipp geben, den ich noch brauche:
Zu Beweisen ist für positive reelle Zahlen x,y:
xy = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x + y [mm] \ge [/mm] 2
Für x = 1 ist die Sache ja klar, also muss man nur noch den Fall x > 1 betrachten (wegen Kommutativität fällt x < 1 weg, denn x < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y > 1).
Wäre super, wenn mir da jemand eben weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 31.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kluh,
> Hallo Leute,
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> die Frage ist mir fast schon peinlich, aber ich finde für
> die folgende Aufgabe einfach keinen Ansatz. Vielleicht kann
> mir da jemand den klitzekleinen Tipp geben, den ich noch
> brauche:
> Zu Beweisen ist für positive reelle Zahlen x,y:
> xy = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] x + y [mm]\ge[/mm] 2
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> Für x = 1 ist die Sache ja klar, also muss man nur noch den
> Fall x > 1 betrachten (wegen Kommutativität fällt x < 1
> weg, denn x < 1 [mm]\Rightarrow[/mm] y > 1).
> Wäre super, wenn mir da jemand eben weiterhelfen könnte.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
wenn $x$ und $y$ positiv sind, dann existieren doch [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] und [mm] $\wurzel{y}$. [/mm] Nun ist das Quadrat einer reellen Zahl stets [mm] $\ge [/mm] 0$, weswegen:
[mm] $(\wurzel{x}-\wurzel{y})^2 \ge [/mm] 0$ gilt.
Rechne mal damit weiter, und denke daran, dass wegen $xy=1$ auch [mm] $\wurzel{xy}=1$ [/mm] gilt.
Im Prinzip habe ich dir jetzt schon den ganzen Beweis geliefert, es fehlen nur noch kleine Zwischenschritte. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Mo 01.11.2004 | | Autor: | kluh |
Danke Marcel,
habe auch schon mit binomischen Formeln rumprobiert, aber auf die Idee, die Wurzel zu verwenden, bin ich nicht gekommen.
Vielen Dank nochmals.
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kluh,
> Zu Beweisen ist für positive reelle Zahlen x,y:
> xy = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] x + y [mm]\ge[/mm] 2
ein weitere Möglichkeit kommt ohne Wurzeln aus:
$xy=1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x=1/y$, da y>0
[mm] $x+y\ge2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{1}{y}+y\ge2$ [/mm] | *y (y>0)
[mm] $\gdw$ $1+y^2\ge2*y$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $y^2-2y+1\ge0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(y-1)^2\ge0$, [/mm] was offenbar wahr ist
Viele Grüße,
Marc
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