Ungleichung zeigen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Di 05.06.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine positive summierbare Folge
(d. h. [mm] a_n>0 [/mm] und es gilt [mm] C:=\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty). [/mm]
Sei [mm] $1\le [/mm] p<q$. Sei nun [mm] (x_n) [/mm] eine Folge mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^q a_n\le [/mm] 1$.
Zu zeigen: Dann ist
[mm] \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p a_n\le C^{1-p/q}. [/mm] |
Hallo,
ich tue mich etwas schwer mit der Aufgabe. Meine Ansätze waren bisher alle noch nicht zielführend und haben mich immer wieder in die Irre geleitet, weswegen ich darauf verzichte, sie hierhin zu schreiben.
Nur so viel: Die Feststellung, dass [mm] x_n\le a_n^{-1/q} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] reicht nicht aus, um die Summe abzuschätzen.
Ich wäre euch äußerst dankbar, wenn ihr mir hierbei helfen könntet!
Gruß, mili 
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine positive summierbare Folge
> (d. h. [mm]a_n>0[/mm] und es gilt [mm]C:=\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty).[/mm]
>
> Sei [mm]1\le p
> [mm]\sum_{n=1}^\infty |x_n|^q a_n\le 1[/mm].
>
> Zu zeigen: Dann ist
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p a_n\le C^{1-p/q}.[/mm]
Es reicht für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] zu zeigen
[mm] $\sum_{n=1}^k |x_n|^p a_n \le C^{1-p/q}$.
[/mm]
Setze [mm] $\theta_n=|x_n|^q a_n$, [/mm] also [mm] $|x_n|=\left(\frac{\theta_n}{a_n}\right)^{1/q}$, $n=1,\ldots,k$.
[/mm]
Wegen [mm] $1\ge\sum_{n=1}^k |x_n|^q a_n$ [/mm] folgt [mm] $0\le\sum_{n=1}^k \theta_n\le [/mm] 1$. Sei [mm] $c:=\sum_{n=1}^k a_n$. [/mm] Betrachte
[mm] \frac{1}{c}\sum_{k=1}^n|x_n|^p a_n=\sum_{n=1}^k \frac{a_n}{c}\left(\frac{\theta_n}{a_n}\right)^{p/q}\le \left(\sum_{n=1}^k \frac{a_n}{c}\frac{\theta_n}{a_n}\right)^{p/q}=\left(\frac{\sum_{n=1}^k \theta_n}{c}\right)^{p/q}\le \frac{1}{c^{p/q}}
[/mm]
Die erste Ungleichung folgt (wieder) durch Anwendung der Jensen-Ungleichung für die konkave Funktion [mm] $f(x)=x^{p/q}$ [/mm] (es ist [mm] $0<\frac{p}{q}<1$).
[/mm]
Das liefert also wie gewünscht [mm] $\sum_{k=1}^n|x_n|^p a_n\le c^{1-p/q}\le C^{1-p/q}$.
[/mm]
LG
|
|
|
|
