Ungleichung zeigen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll folgende Ungleichung für x [mm] \in \IZ [/mm] zeigen:
[mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \ge \sqrt{x}
[/mm]
ausgenommen x=2 oder x=6.
Wie komme ich erstmal darauf, dass ich 2 und 6 rauslassen soll und wie zeig ich das allgemein?
Sehr viel zur Phifunktion haben wir noch nicht gemacht, außer wie man sie ausrechnet, wie man zusammengesetzte Zahlen ausrechnet und was die Summe über die phifunktion ergibt.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank im voraus!
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> Hallo,
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> ich soll folgende Ungleichung für x [mm]\in \IZ[/mm] zeigen:
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> [mm]\varphi[/mm] (x) [mm]\ge \sqrt{x}[/mm]
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> ausgenommen x=2 oder x=6.
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> Wie komme ich erstmal darauf, dass ich 2 und 6 rauslassen
> soll und wie zeig ich das allgemein?
>
Es gibt zwei Fälle:
- x ist reine Primzahlpotenz [mm]x=p^r[/mm] für ein r und [mm] $p\in\mathbb{P}\setminus\{ 2\}$
[/mm]
- x ist zusammen gesetzt
für [mm]x=p^r[/mm] ist es recht leicht. (Um Analysis kommt man nicht herum)
Falls x zusammengesetzt ist kannst du [mm] $\varphi(mn)=\varphi(n)\varphi(m)$ [/mm] für teilerfremde m,n verwenden.
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Also für x = [mm] p^r [/mm] weiß ich ja, dass [mm] \varphi(x)=p^k(1-\bruch{1}{p})
[/mm]
Inwieweit brauch ich die Analysis jetzt?
In denke phi²(x) betrachten ist hier quatsch oder?
Wieso muss ich die 2 rausnehmen, dann hätte ich im Beweis ja sofort schonmal eine Zahl für die die Ungleichung nicht gilt.
Eine ganze Menge Fragen, aber leider ist dies die einzige Aufgabe hier, die so gar nicht klappt...
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Für [mm] $x=p^r$ [/mm] mit p ungerade ist [mm] $\varphi(x)=\varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\ge \sqrt{p^r}=\sqrt{x}$. [/mm]
Jede Zahl, die aus Potenzen ungerader Primfaktoren besteht hast du damit abgedeckt.
Betrachte jetzt erst einmal die 2er Potenzen.
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Okay, habe das heute hinbekommen, einziger Fall den ich noch nicht habe ist, wenn meine Zahl = [mm] 2*p_1^{a_1}*...*p_n^{a_n} [/mm] ist.
Hier bräuchte ich dann wohl die Analysis?
Schonmal vielen Dank.
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Wir haben die Aussage schon für alle ungeraden Zahlen.
Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht.[mm]\varphi(n)\ge\frac{\sqrt{n}}{2}[/mm] ist recht leicht für alle n zu beweisen. Die untere Schranke von [mm]\sqrt{n}[/mm] ist aber schwieriger.
Betrachtet man [mm]\varphi(2^r)=2^{r-1}[/mm], so brauch man [mm]2^{r-1}\ge 2^{r/2}[/mm]. Aber das gilt ja offensichtlich für [mm]r\ge 2[/mm].
Somit ist für [mm]r\ge 2[/mm] nun [mm]\varphi(x)=\varphi(2^r)=2^{r-1}\ge 2^{r/2}=\sqrt{2^r}=\sqrt{x}[/mm]
Es verbleiben die Zahlen der Art [mm]2p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}[/mm].
Laut http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html
steht es in (Kendall and Osborn 1965; Mitrinović and Sándor 1995, p. 9)
Im Buch "Handbook of Numbertheory" gibt es eine Referenz auf "A.M. Vaidya. An inequality for Euler’s totient function. Math. Student 35 (1967), 79–80."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 15.05.2012 | | Autor: | Heatshawk |
Das habe ich auch schon gefunden, leider das Buch nicht^^.
Den Fall [mm] 2^2 [/mm] * Rest(Rest = m) kann man aber leicht zeigen.
Weil [mm] \varphi(2^2*m)= \varphi(4)*\varphi(m)\ge 2*\sqrt{m} [/mm] = [mm] \sqrt{4m}
[/mm]
Stimmt das so?
Hänge nur noch an dem Fall für 2 * Rest.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Di 15.05.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Das habe ich auch schon gefunden, leider das Buch nicht^^.
Nicht ohne Grund, ist preislich ja nicht ein Schäppchen. Der Beweis steht aber auch nicht drin 
>
> Den Fall [mm]2^2[/mm] * Rest(Rest = m) kann man aber leicht zeigen.
> Weil [mm]\varphi(2^2*m)= \varphi(4)*\varphi(m)\ge 2*\sqrt{m}[/mm] =
> [mm]\sqrt{4m}[/mm]
Ich seh grad, dass die Ungleichung [mm] $2^{r-1}\ge2^{r/2}$ [/mm] aus meinem vorherigen Beitrag auch für [mm] $r\ge [/mm] 2$ gilt. Das würde also den Fall einschließen.
>
> Stimmt das so?
Du müsstest das ja allgemein für 2er Potenzen zeigen
>
> Hänge nur noch an dem Fall für 2 * Rest.
Genau. Da wird es wohlmöglich noch Unterfälle geben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 14.05.2012 | | Autor: | helfer3 |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, wie das mit der 2 und der 6 zu verstehen ist, aber kann es sein, dass es etwas damit zu tun hat, das sie weder Primzahlen sind noch ungerade? Vielleicht als kleiner Gedanke, bin mir aber auch nicht sicher, ob das in die richtige Richtung geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Di 15.05.2012 | | Autor: | wieschoo |
Seit wann gehört die 2 nicht zu den Primzahlen?
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