Ungleichung zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 27.08.2009 | | Autor: | pinclady |
| Aufgabe | [mm] u_n(i) \in [/mm] [0,1] , [mm] p\in [/mm] (0,1) und q=1-p; N und i sind natürliche Zahlen. [mm] u_n [/mm] ist folgendermaßen definiert
[mm] u_n(i)=\begin{cases} pu_{n-1}(2i), & \mbox{für } i \le N/2 \\ p+qu_{n-1}(2i-N), & \mbox{für } i \ge N/2 \end{cases}
[/mm]
Mit [mm] u_n(0)=0,u_n(N)=1, n\ge [/mm] 0 und [mm] u_0(i)=0, [/mm] i<N
z.z. [mm] u_{n+1}(r)-pu_n(r+s)-qu_n(r-s)\ge [/mm] 0 [mm] s\le [/mm] min(r,N-r) (*)
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Hallo Zusammen,
ich hoffe sehr, dass mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann.
Der Beweis von der Ungleichung (*) ist ein Induktionsbeweis und ich habe I.A. und bestimmte Fälle schon gemacht. Aber ich komme an einer Stelle nicht weiter
-Falls r-s [mm] \le [/mm] N/2 [mm] \le [/mm] r gilt unter der Ausnutzung der Definition von u:
[mm] u_{n+1}(r)-pu_n(r+s)-qu_n(r-s)=p+qu_{n}(2r-N)-p(p+qu_{n-1}(2r+2s-N))-qpu_{n-1}(2r-2s))
[/mm]
So, nun habe ich versucht die Gleichung so zuverändern, dass Induntions-Voraussetzung da steht. Dann könnte ich sagen, dass sie nach I.V. [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Aber es gelingt mir leider nicht. Villeicht hat jemand von euch eine Idee.
Danke für eure Mühe in Voraus.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 27.08.2009 | | Autor: | pinclady |
Hat denn überhaupt niemand hierzu eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Sa 29.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]u_n(i) \in[/mm] [0,1] , [mm]p\in[/mm] (0,1) und q=1-p; N und i sind
> natürliche Zahlen. [mm]u_n[/mm] ist folgendermaßen definiert
>
> [mm]u_n(i)=\begin{cases} pu_{n-1}(2i), & \mbox{für } i \le N/2 \\ p+qu_{n-1}(2i-N), & \mbox{für } i \ge N/2 \end{cases}[/mm]
>
> Mit [mm]u_n(0)=0,u_n(N)=1, n\ge[/mm] 0 und [mm]u_0(i)=0,[/mm] i<N
> z.z. [mm]u_{n+1}(r)-pu_n(r+s)-qu_n(r-s)\ge[/mm] 0 [mm]s\le[/mm] min(r,N-r)
> (*)
Die Aussage (*) stimmt nicht!
Beispiel: $N = 5$
[mm] $\begin{tabular}{c|ccc} i & u_0(i) & u_1(i) & u_2(i) \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & p^2 \\
3 & 0 & p & 0 \\
4 & 0 & p & p (1 + q) \\
5 & 1 & 1 & 1\end{tabular}$
[/mm]
Fuer $n = 1$, $r = 3$ und $s = 1$ gilt nun [mm] $u_{n+1}(r) [/mm] - p [mm] u_n(r [/mm] + s) q [mm] u_n(r [/mm] - s) = 0 - p [mm] \cdot [/mm] p - q [mm] \cdot [/mm] 0 = [mm] -p^2 [/mm] < 0$.
LG Felix
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