Ungleichung zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Di 21.04.2015 | | Autor: | zazie |
| Aufgabe | Seien a,b Vektoren aus dem [mm] R^n_+. [/mm] Die Einträge von a und b seien absteigend geordnet, d.h. [mm] a_1 [/mm] ≥ ... [mm] ≥a_n, b_1 [/mm] ≥...≥ [mm] b_n
[/mm]
Es gelte für alle k mit 1≤k≤n:
[mm] a_1*...*a_k [/mm] ≤ [mm] b_1*...*b_k
[/mm]
Zu zeigen ist:
Dann gilt für alle k mit 1≤k≤n:
[mm] a_1+...+a_k [/mm] ≤ [mm] b_1+...+b_k [/mm] |
Guten Abend,
es wäre sehr nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte.
Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Vollständige Induktion habe ich probiert, aber nicht hinbekommen.
Auch wenn ihr nur Vorschläge habt, was funktionieren könnte, her damit, dann mache ich es natürlich gerne selbst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Mi 22.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b Vektoren aus dem [mm]R^n_+.[/mm] Die Einträge von a und b
> seien absteigend geordnet, d.h. [mm]a_1[/mm] ≥ ... [mm]≥a_n, b_1[/mm]
> ≥...≥ [mm]b_n[/mm]
> Es gelte für alle k mit 1≤k≤n:
> [mm]a_1*...*a_k[/mm] ≤ [mm]b_1*...*b_k[/mm]
>
> Zu zeigen ist:
> Dann gilt für alle k mit 1≤k≤n:
> [mm]a_1+...+a_k[/mm] ≤ [mm]b_1+...+b_k[/mm]
> Guten Abend,
>
> es wäre sehr nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe
> helfen könnte.
> Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Vollständige
> Induktion
Gute Idee
> habe ich probiert, aber nicht hinbekommen.
Zeig mal deine Bemuehungen
Fred
> Auch wenn ihr nur Vorschläge habt, was funktionieren
> könnte, her damit, dann mache ich es natürlich gerne
> selbst.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:40 Mi 22.04.2015 | | Autor: | zazie |
Es funktioniert einfach bis jetzt nicht.
Für den Induktionsanfang k=1 braucht man noch nichts zeigen.
Aber schon wenn ich es nur für k=2 versuche, komme ich einfach zu keiner passenden Abschätzung.
Ich habe auf verschiedene Art und Weise versucht, [mm] a_1+a_2 [/mm] zu erweitern, zum Beispiel [mm] a_1+a_2 [/mm] ≤ [mm] ((a_1+a_2)b_1b_2) [/mm] / [mm] (b_1b_2)) [/mm] (habe statt [mm] b_1*b_2 [/mm] schon vieles andere durchprobiert) ... und so durch Abschätzungen nach oben zu [mm] b_1+b_2 [/mm] zu gelangen. Aber ich habe einfach keine passende Abschätzung gefunden. Schon mehrfach bin ich nur gekommen zu [mm] a_1+a_2 [/mm] ≤ [mm] b_1+a_2, [/mm] was aber nichts nützt...
Auch die Kontraposition, d.h. [mm] b_1+...+b_k [/mm] ≤ [mm] a_1+...+a_k [/mm] impliziert [mm] b_1*...*b_k [/mm] ≤ [mm] a_1*...*a_k [/mm] habe ich versucht, aber bin schon für k=2 gescheitert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 22.04.2015 | | Autor: | zazie |
So, es hat nun doch mit vollständiger Induktion funktioniert.
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