Ungleichung wahr? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:20 Mo 11.11.2013 | | Autor: | sick_of_math |
| Aufgabe | Hallo, es ist [mm] $\lvert x\rvert\leq [/mm] M $ für ein M$>0$.
Gilt dann:
[mm] $\frac{1}{2}(2+x^2-M\sqrt{M^2+4})\geq\frac{1}{2}(2+M^2-M\sqrt{M^2+4})>0$? [/mm] |
Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll ;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo sick_of_math!
Gibt es hier noch irgendwelche Zusatzinformationen zu [mm]M_[/mm] oder [mm]x_[/mm] ?
Wenn Du Deine Ungleichheitskette in zwei Ungleichungen auflöst, erhält man durch Umformungen:
(1) [mm] $\frac{1}{2}*\left(2+x^2-M*\sqrt{M^2+4} \ \right) [/mm] \ [mm] \geq [/mm] \ [mm] \frac{1}{2}*\left(2+M^2-M*\sqrt{M^2+4} \ \right) [/mm] \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] x^2 [/mm] \ [mm] \geq [/mm] \ M$
(2) [mm] $\frac{1}{2}*\left(2+M^2-M*\sqrt{M^2+4} \ \right) [/mm] \ > \ 0 \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ 4 \ > \ 0$
Gruß
Loddar
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Ich kann auch mal anders fragen:
Ich muss zeigen, dass
[mm] $z_1=\frac{1}{2}(2+x^2+w+\sqrt{w^2-2wx^2+x^4+4x^2})$
[/mm]
und
[mm] $z_2=\frac{1}{2}((2+x^2+w [/mm] - [mm] \sqrt{w^2-2wx^2+x^4+4x^2})$
[/mm]
positiv sind, wobei $w$ nicht negativ ist.
Und die x sollen aus einer beschränkten Menge [mm] $X\subset\mathbb{R}^2$ [/mm] kommen, deswegen habe ich das mit dem M aufgeschrieben als Schranke, weil es doch dann ein $M>0$ gibt, sodass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $\vert x\rvert\leq [/mm] M$.
Meine Idee zu [mm] z_2 [/mm] war, dies nach unten abzuschätzen:
Es ist doch
[mm] $\sqrt{w^2-2wx^2+x^4+4x^2}\leq\sqrt{w^2+x^4+4x^2}\leq\sqrt{w^2}+\sqrt{x^4+4x^2}= w+\vert x\rvert\sqrt{x^2+4}\leq w+M\sqrt{M^2+4}$
[/mm]
und deswegen
[mm] $z_2\geq\frac{1}{2}(2+x^2-M\sqrt{M^2+4})$
[/mm]
Aber nun weiß ich nicht wie ich das weiter nach unten abschätzen kann: Da muss ja irgendeine untere Grenze bei rauskommen, die auf jeden Fall positiv ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 13.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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