Ungleichung von B. Sz. Nagy < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:01 So 16.08.2015 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Beweisen Sie den folgenden Satz:
Sei y(x) eine Funktion welche auf dem Intervall [mm] [-\infty,\infty] [/mm] definiert ist und für welche die beiden folgenden Integrale für ein a > 0 und ein p [mm] \ge [/mm] 1 existieren.
[mm] J_a [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|y|^{a} dx}
[/mm]
[mm] K_p [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|y'|^{p} dx}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \max_{-\infty < x < \infty} [/mm] |y| [mm] \le (\bruch{r}{2})^{1/r}J_a^{(p-1)/(pr)}K_p^{1/(pr)} [/mm] mit r=1+(p-1)a/p |
Ich habe dazu nun folgenden Link gefunden:
![[]](/images/popup.gif) link
Ab Seite 167 steht da ein Beweis.
Den Fall für p=1 habe ich verstanden. Jedoch verstehe ich nun nicht was nach der Gleichung (7) passiert. Könnte mir das jemand wenn möglichst kleinschirttig erklären?
Grüße Gnocchi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 16.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie den folgenden Satz:
> Sei y(x) eine Funktion welche auf dem Intervall
> [mm][-\infty,\infty][/mm] definiert ist und für welche die beiden
> folgenden Integrale für ein a > 0 und ein p [mm]\ge[/mm] 1
> existieren.
> [mm]J_a[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{|y|^{a} dx}[/mm]
> [mm]K_p[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{|y'|^{p} dx}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]\max_{-\infty < x < \infty}[/mm] |y| [mm]\le (\bruch{r}{2})^{1/r}J_a^{(p-1)/(pr)}K_p^{1/(pr)}[/mm]
> mit r=1+(p-1)a/p
> Ich habe dazu nun folgenden Link gefunden:
> Link
Dieser Link liefert mir nur:
"Fehler: Server nicht gefunden"
FRED
>
> Ab Seite 167 steht da ein Beweis.
> Den Fall für p=1 habe ich verstanden. Jedoch verstehe ich
> nun nicht was nach der Gleichung (7) passiert. Könnte mir
> das jemand wenn möglichst kleinschirttig erklären?
>
> Grüße Gnocchi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 16.08.2015 | | Autor: | Herby |
Hallo Gnocchi,
hallo Fred,
nun sollte der Link funktionieren.
Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mo 17.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Setzen wir
$f:=(sign [mm] y)|y|^{(p-1)a/p}y'$.
[/mm]
Dann haben wir
(*) [mm] $\integral_{ - \infty}^{\infty}{|y|^{(p-1)/p}|y'| dx} \ge [-\integral_{0}^{\infty}+\integral_{ - \infty}^{}]f [/mm] dx$
Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch
[mm] F=\bruch{1}{1+(p-1)a/p}*|y|^{1+(p-1)a/p}.
[/mm]
Dann wird das Integral rechts in (*) mithilfe von F berechnet.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:53 Di 18.08.2015 | | Autor: | Gnocchi |
Vielen Dank, das habe ich dann nun besser verstanden!
Probiere mich nun gerade daran die Carlson Ungleichung zu beweisen, die auch im Link zu finden ist. Dazu brauche ich ja die Ungleichung von Nagy.
Wenn ich Nagy anwende mit p=a=2 erhalte ich:
[mm] \max_{-\infty < t < \infty} \vert [/mm] g [mm] \vert \le (\int_{-\infty}^\infty \vert g\vert^2 dt)^{1/4} (\int_{-\infty}^\infty \vert g'\vert^2 dt)^{1/4}
[/mm]
Mit dem gegebenen f(x) ergibt sich:
[mm] \max_{-\infty < t < \infty} \vert \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty [/mm] g(t) [mm] \; \cos [/mm] xt [mm] \; \mathrm{dt} \vert \\\le (\int_{-\infty}^\infty \vert \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty [/mm] g(t) [mm] \; \cos [/mm] xt [mm] \; \mathrm{dt}\vert^2 dt)^{1/4} (\int_{-\infty}^\infty \vert \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty [/mm] -t g(t) [mm] \; \sin [/mm] xt [mm] \; \mathrm{dt}\vert^2 dt)^{1/4}
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie wende ich nun die PArseval-Plancheral Formel an? Oder geht das an dieser Stelle noch nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 20.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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