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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] x\in\IR [/mm] für die folgende Ungleichung zurtrifft:
[mm] |\sin2x|\ge\bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo erstmal ^^,
also steck bei der aufgabe schon ziemlich lange fest.
ich weiss nich wie ich [mm] |\sin2x| [/mm] behandeln soll.
Da [mm] \sin2x [/mm] eine periodische funktion ist müssen die nullstellen
auch in abhängikeit einer variable stehen und sicherlich auch irgentwie [mm] von\pi [/mm] abhängen.
Mir ist das Additionstheorem(brauch ich das hier überhaupt?) bekannt und auch das alle Nullstellen von [mm] \sin2x [/mm] vielfaches von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist.
also xn= [mm] z\cdot\bruch{\pi}{2} [/mm] : [mm] z\in\IZ
[/mm]
aber wie löse ich den betrag auf, und wie verfahre ich mit
[mm] \bruch{1}{2} [/mm]
wäre sehr dankbar über lösungsvorschläge, steh hier nämlich grad total aufm schlauch.
lg tommy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du solltest als Erstes eine Zeichnung machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe die zwei Begrenzungslinien, die der Ungleichung [mm]|\sin(2x)|\ge \bruch{1}{2}[/mm] entsprechen, blau eingezeichnet. Die Lösungen der Ungleichung sind alle Punkte x, für die der Wert der Funktion [mm]\sin(2x)[/mm] nicht zwischen den blauen Linien liegt.
Du hast ja erkannt, dass [mm]\sin(2x)[/mm] eine periodische Funktion ist. Daher reicht es, die Ungleichung zunächst für eine Periode, also zum Beispiel [mm]-\pi\le 2x<\pi[/mm] zu lösen; alle anderen Lösungen ergeben sich daraus durch Addition eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen von [mm]\pi[/mm].
Da der Sinus eine ungerade Funktion ist, gilt: [mm]|\sin(2(-x))| = |\sin(-2x)| = |-\sin(2x)| = |\sin(2x)|[/mm]. Damit ist zu jeder Lösung x der Ungleichung auch -x eine Lösung. Daher musst du nur noch die Lösungen im Interval [mm]0\le x<\pi/2[/mm] finden.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke für deine Hilfe Rainer, aber ich komm immernoch nicht drauf. Die x-Werte müssten statt [mm] k\pi/2 [/mm] doch nur um [mm] (k\pi/2)-0.5 [/mm] verschoben sein im gegensatz zu sin2x - das sind sie aber offensichtlich nicht :(.
Wäre für weitere hilfe dankbar :/.
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Hallo,
ich möchte dir mit auf den Weg geben:
1. Fall: [mm] sin(2x)\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
2. Fall: [mm] sin(2x)\le-\bruch{1}{2}
[/mm]
beide Gleichungen solltest du nun lösen,
Steffi
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Vielen Dank Steffi,
Ich habe jetzt nach mehrfachen probieren und auf den Graphen schaun [mm] \pi/12 [/mm] als mögliche Lösung.
Allerdings erschließt sich mir dies alles noch nicht so wirklich.
Warum geht [mm] (\pi/2)-0.5 [/mm] nicht?
Nullstelle von sin2x ist doch [mm] (k\pi/2),
[/mm]
warum ist dann [mm] (k\pi/2)-0.5 [/mm] nicht Nullstelle von sin2x-0.5?.
Ich habe noch immer keine Ahnung wie ich mathematisch das Problem lösen kann.
Auf [mm] \pi/12 [/mm] bin ich gekommen(der weg ist wahrscheinlich auch falsch) durch:
0.5 entspricht [mm] sin(\pi/6),
[/mm]
[mm] sin(2x)-sin(\pi/6)=0 [/mm] , Umkehrfunktion arcsin;
[mm] 2x-(\pi/6)=0 [/mm]
[mm] x=(\pi/12)
[/mm]
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Hallo!
Nun, du mußt tatsächlich die Gleichung
sin(2x)=0,5
lösen, und das geht, indem du auf beiden Seiten den arcsin anwendest.
Deine Lösung mit dem [mm] $0,5=\sin(\pi [/mm] /6)$ ist übrigens vollkommen richtig, daran solltest du festhalten, denn so bekommst du glatte Brüche (und [mm] \pi [/mm] ) statt Kommazahlen.
Du mußt nur dran denken, dass das nicht die einzige Lösung ist. dein sin hat sein Maximum bei [mm] $\pi [/mm] / 4$, und deine gesuchten Werte befinden sich beiderseits davon. Du hast nun als Wert [mm] $\pi [/mm] / 12 = [mm] \pi [/mm] / 4 - [mm] \pi [/mm] / 6$ , dazu kommt noch der Wert auf der anderen Seite: [mm] $\pi [/mm] / 4 + [mm] \pi [/mm] / 6$
Jetzt noch ein Hinweis zum Betrag: in dem Graphen müsstest du überall die unteren Hälften des sin nach oben umklappen. Du siehst dann, dass die Funktion sich alle [mm] $\pi [/mm] / 4$ wiederholt. Das mußt du noch in deine Ergebnisse einbauen.
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Hallo, möchte ich bei meinen Fällen von vorhin wieter machen,
1. Fall:
[mm] sin(2x)\ge\bruch{1}{2} [/mm] du hast richtig gefunden [mm] \bruch{1}{12}\pi, [/mm] jetzt ist es aber ein Intervall, du bekommst
[mm] \bruch{1}{12}\pi \le [/mm] x [mm] \le \bruch{5}{12}\pi [/mm] (oder im Gradmaß 15 Grad bis 75 Grad)
2. Fall:
[mm] \bruch{7}{12}\pi \le [/mm] x [mm] \le \bruch{11}{12}\pi
[/mm]
jetzt beachte noch, die kleinste Periode deiner Funktion ist [mm] \pi
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
|sin2x|<0,5 heisst doch wenn sin2x>0 einfach sin2x<0,5
wenn sin2x<0 dann 0>sin2x>-1/2
Aber wenn du dir sin2x aufmalst und einfach die negativen Teile an der xAchse nach oben spiegelst, dann siehst du das viel besser! Da ziehst du dann die Gerade y=0,5 und siehst alles was drunter liegt.
also von 0bis [mm] \pi/12, [/mm] von [mm] \pi/2- [/mm] bis [mm] \pi/2+\pi/12 [/mm] und dann nach rechts und links weiter mit Periode [mm] \pi.
[/mm]
Es hilft meist, die funktion im Betrag ohne Betrag aufzuzeichnen, und dann die negativen Teile hochklappen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Di 16.10.2007 | | Autor: | Xerxes2504 |
Vielen Dank an alle,
das hat mir die Augen geöffnet :).
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