Ungleichung mit X^2 < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 13.09.2008 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung [mm] |x^{2}-4| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}|x+2| [/mm] |
Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben mit Fallunterscheidung heran.
Ich schaue mir also an, wie die Ungleichung umgeschrieben werden muss, damit man die Betragsstriche weglassen kann.
Beim aktuellen Beispiel führt mich das für X [mm] \ge [/mm] 2 zu folgendem:
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x - 5 < 0
Wäre dies nun eine Gleichung würde ich nun mit der PQ-Formel ans Werk gehen. Hier funktioniert dies aber nicht, wege < 0
Gibt es hier überhaupt eine Möglichkeit nach X aufzulösen oder ende ich immer in einem Ausdruck mit Wurzel?
Greetz
Ganzir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ganzir,
> Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung
> [mm]|x^{2}-4|[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}|x+2|[/mm]
> Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben mit
> Fallunterscheidung heran.
>
> Ich schaue mir also an, wie die Ungleichung umgeschrieben
> werden muss, damit man die Betragsstriche weglassen kann.
>
> Beim aktuellen Beispiel führt mich das für X [mm]\ge[/mm] 2 zu
> folgendem:
>
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x - 5 < 0
>
> Wäre dies nun eine Gleichung würde ich nun mit der
> PQ-Formel ans Werk gehen. Hier funktioniert dies aber
> nicht, wege < 0
Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichung
[mm]x^{2}- \bruch{1}{2}x-5=0[/mm]
Sind [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] die Lösungen obiger Gleichung, so läßt sich die Gleichung auch so schreiben;
[mm]x^{2}- \bruch{1}{2}x-5=\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right)[/mm]
Untersuche dann, wann
[mm]\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right) < 0 [/mm]
ist.
>
> Gibt es hier überhaupt eine Möglichkeit nach X aufzulösen
> oder ende ich immer in einem Ausdruck mit Wurzel?
>
> Greetz
> Ganzir
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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> Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung
> [mm]|x^{2}-4|[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}|x+2|[/mm]
> Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben mit
> Fallunterscheidung heran.
>
> Ich schaue mir also an, wie die Ungleichung umgeschrieben
> werden muss, damit man die Betragsstriche weglassen kann.
(eine Möglichkeit dazu wäre hier, beide Seiten der
Ungleichung zu quadrieren, das führt dann allerdings
auf eine Ungleichung 4.Grades, was nicht unbedingt
angenehm ist)
Hallo ganzir,
wenn du beachtest, dass [mm] x^2-4 [/mm] = (x+2)*(x-2) und deshalb
auch [mm] |x^2-4|=|x+2|*|x-2| [/mm] ist, gibt es einen sehr kurzen
Lösungsweg. Man kann die Ungleichung beidseitig durch
|x+2| dividieren (das ist problemlos, weil |x+2| für alle x
(ausser x=-2) positiv ist. Es sind deshalb keine Fallunter-
scheidungen nötig - ausser der Betrachtung des speziellen
Falls mit x=-2: dann ist die Ungleichung nicht erfüllt.
Die verbleibende Ungleichung |x-2| < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
hat offensichtlich die Lösungsmenge [mm] \{x\in \IR\ |\ 1.5 < x < 2.5 \}
[/mm]
Gruß al-Chw.
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> Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung
> [mm]|x^{2}-4|[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}|x+2|[/mm]
> Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben mit
> Fallunterscheidung heran.
>
> Ich schaue mir also an, wie die Ungleichung umgeschrieben
> werden muss, damit man die Betragsstriche weglassen kann.
>
> Beim aktuellen Beispiel führt mich das für X [mm]\ge[/mm] 2 zu
> folgendem:
>
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x - 5 < 0
> Greetz
> Ganzir
hallo Ganzir,
ich habe mir jetzt deine Frage und deinen Lösungsansatz
nochmals angeschaut. Mir ist unklar, wie du auf die
angegebene Ungleichung
[mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x - 5 < 0
gekommen bist. Die erscheint mir hier rätselhaft.
Falls du dazu noch Hilfe brauchst, dann melde dich nochmals.
LG
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