Ungleichung mit Potenzen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits,
ich habe das Problem, dass ich aus n Elementen k auswähle mit Beachtung der Reihenfolge und Wiederholungen. Also habe ich [mm] n^k [/mm] Variationen. Das ist klar.
Nun aber folgendes:
Die n Elemente kann ich noch in Gruppen unterteilen und auch die k auszuwählenden sind entsprechend unterteilt, um jeweils innerhalb der Gruppen auszuwählen. Es geht hier im die Verteilung von k Rollen auf n Charaktere, und die Rollen bzw. Charaktere kann ich zum Beispiel nach männlich/weiblich unterscheiden.
Ich habe also [mm] n_1 + \ldots + n_i = n [/mm] Elemente/Charaktere
und [mm] k_1 + \ldots + k_i = k [/mm] Rollen.
Kann ich dann irgendwie zeigen, dass [mm] n_1^{k_1} + \ldots + n_i^{k_i} \le n^k [/mm] gilt, oder noch besser sogar vielleicht "kleiner" statt "kleiner gleich"???
Rein logisch gedacht erscheint mir die obige Gleichung zu gelten, habe das die Befürchtung irgendwas übersehen/falsch gemacht zu haben. Zudem wäre mir ein Beweis ganz Recht oder eine bekannte Ungleichung auf die ich mich Beziehen kann, um Fragen von "Ungläubigen" niederschmettern zu können. 
Besten Dank schonmal vorab und Lob an dieses Forum (insbesondere auch an die Initiatoren, die Umsetzung mit TeX-Formeln ist genial). Schade, dass ich es erst so spät in meinem Studium entdeckt habe. Das hätte mir doch sicher oft helfen können.... Ach ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo derwenzel,
Das geht ganz leicht. Es gilt:
[mm] $n_1^{k_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] n_i^{k_i}$ [/mm] < [mm] $n_1^{k_1} [/mm] * [mm] \ldots [/mm] * [mm] n_i^{k_i}$ [/mm] < [mm] $\mbox{max}(n_1, \ldots [/mm] , [mm] n_i)^{k_1 + \ldots + k_i}$ [/mm] < [mm] $n^{k_1 + \ldots + k_i}$ [/mm] = [mm] $n^k$
[/mm]
Die erste Ungleichung glit nur, wenn alle n größer als 1 sind.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Fr 05.08.2005 | | Autor: | derwenzel |
Wollte doch wenigstens kurz Danke sagen. 
Die Antwort kam ja schneller als ich dachte. Auch wenn ich mir selbst eingestehen muss, dass mir diese Antwort hätte selber einfallen müssen. Mein Matheprof würde mich jetzt sicher lynchen...
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