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Hallo zusammen,
Laut meinem Buch ist es ein einfacher Beweis, aber ich komm da nicht weiter:
[mm]\forall\ x \in \IR: e^x \leq x+ e^{(x^2)}[/mm]
Hab schon mit Reihendarstellung und auch Ableitung rumprobiert, aber noch kein Licht gesehen...
Könnte mir bitte jmd. einen Tipp geben ?
Danke,mfg
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 06.11.2005 | | Autor: | choosy |
> [mm]\forall\ x \in \IR: e^x \leq x+ e^{(x^2)}[/mm]
es ist stets [mm] $e^x>0$, [/mm] das heisst wir können auf beiden seiten durch [mm] $e^x$ [/mm] teilen, d.h.
[mm] $\forall\ [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] 1 [mm] \leq xe^{-x}+ e^{(x^2)-x}$
[/mm]
und nun berechnet man auf der rechten seite das absolute minimum (ableitung=0...)
...das wär mein vorschlag, vielleicht gehts auch noch einfacher??
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Hallo choosy!
> es ist stets [mm]e^x>0[/mm], das heisst wir können auf beiden seiten
> durch [mm]e^x[/mm] teilen, d.h.
> [mm]\forall\ x \in \IR: 1 \leq xe^{-x}+ e^{(x^2)-x}[/mm]
> und nun
> berechnet man auf der rechten seite das absolute minimum
> (ableitung=0...)
danke erstmal für deinen Tipp, also die erste Ableitung ist
[mm]f'(x)=e^{-x}*(1-x+e^{x^2}*(2x-1))[/mm]. Also ist
f'(x)=0[mm]\gdw 1-x+e^{x^2}*(2x-1)=0[/mm] (1)
Eine Lösung ist x=0. Wenn man dass in die 2.Abl. setzt, kommt 1 raus, also Minimum bei x=0.
Aber wie zeige ich jetzt, dass es nicht noch eine andere Lösung für (1) gibt, dass die x=0 Lösung eindeutig ist?
Dazu könnte man zeigen, dass f''(x)> 0 ist für alle x, aber
[mm]f''(x)=e^{-x}*(x-2)+(2+(2x-1)^2)*e^{x^2-x}[/mm] und nicht einfach abzuschätzen....
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Do 10.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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