Ungleichung mit Betrag < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei x [mm] \in \IR [/mm] mit "Betrag" Ix+2I < [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Man zeige:
[mm] |\bruch{x+3}{x+5}| \le \bruch{3}{7} [/mm] |
Erst einmal wäre es super, wenn mir einer in Prosa erklären würde was verlangt ist.
Ich verstehe es so, dass ich zeigen soll, dass die Aufgabenstellung bzw. der Term stimmt. Dabei ist wohl zu zeigen oder zu beachten oder es ist die Voraussetzung, dass Ix+2I < [mm] \bruch{1}{5} [/mm] ist.
Dann heißt das auch, dass [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - 2 = - [mm] \bruch{9}{5} [/mm] ist, also x < der rechten Seite der eben genannten Ungleichung ist!?
Ich hab mal so angefangen:
Vereinfachen durch Polynomdivision:
I (x+3) : (x+5) I = 1 + [mm] \bruch{-2}{x+5}
[/mm]
- (x+5)
----------
/ -2
Wenn dann die Bedingung auch noch zu verarbeiten ist, scheint es mir sinnvoll den neuen Term aufzuspalten in:
= 1 + [mm] \bruch{-2}{Ix+2I +3}
[/mm]
Bitte um Korrektur und vlt einen Link auf Wiki wo ich das Thema nochmal nachlesen kann.
Viele Grüße
Semi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du sollst zeigen:
aus $|x+2| < [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $ folgt:
$ [mm] |\bruch{x+3}{x+5}| \le \bruch{3}{7} [/mm] $
FRED
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wenn also aus Ix+2I < [mm] \bruch{1}{5} [/mm]
[mm] I\bruch{x+3}{x+5}I [/mm] <= [mm] \bruch{3}{7} [/mm] folgt, ist auch
I [mm] \bruch{x+3}{x+5} [/mm] I - Ix+2I <= [mm] \bruch{3}{7} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{8}{35} [/mm] !?
Ich würde dann doch wieder den HN suchen und "Poly.dividieren" wobei ich dann auf:
I -x + 1 - [mm] \bruch{12}{x+5}I \le \bruch{8}{35} [/mm] komme.
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Hallo Semimathematiker!
Dein Rechenweg erschließt sich mir überhaupt nicht.
Kläre zunächst den Definitionsbereich aus der Vorgabe [mm] $\left| \ x+2 \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{5}$ [/mm] .
Für welche $x_$ ist diese Ungleichung erfüllt?
Was gilt dann für $x+3_$ bzw. $x+5$ ? Sind diese dann positiv oder negativ?
Damit kannst Du die Betragsstriche auflösen und nach $x_$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Es sei [mm] x\in \IR [/mm] mit Ix+2I < [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
man zeige:
I [mm] \bruch{x+3}{x+5} [/mm] I [mm] \le \bruch{3}{7} [/mm] |
Für welche x ist die ungleichung erfüllt?
x+2 < [mm] \bruch{1}{5} [/mm] ; x < - [mm] \bruch{9}{5}
[/mm]
Definitionsbereich:
D: x [mm] \in [/mm] ] - [mm] \bruch{10}{5} [/mm] ; - [mm] \bruch{9}{5} [/mm] [ dachte ich weil die "0" sowie die negativen Zahlen der Summe ausgeschlossen werden müssen wegen dem "Betrag".
Deiner Antwort entnehme ich aber, dass das nicht notwendig ist. Also muss der Def.bereich
D: x [mm] \in [/mm] ] - [mm] \infty [/mm] ; - [mm] \bruch{9}{5} [/mm] [ sein.
Jetzt hab ich meine Ungleichung in
I [mm] \bruch{\overbrace{x+2}^{= x \in D}+1}{\underbrace{x+2}_{=x \in D}+3} [/mm] aufgesplittet
und
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] mit [mm] \bruch{3}{7} [/mm] zu 0 verrechnet.
jetzt hab ich I [mm] \bruch{x+2}{x+2} [/mm] < 0 und damit einen Schmarren oder besser, ein Problem.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]x\in \IR[/mm] mit Ix+2I < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> man zeige:
>
> I [mm]\bruch{x+3}{x+5}[/mm] I [mm]\le \bruch{3}{7}[/mm]
> Für welche x ist
> die ungleichung erfüllt?
>
> x+2 < [mm]\bruch{1}{5}[/mm] ; x < - [mm]\bruch{9}{5}[/mm]
>
> Definitionsbereich:
>
> D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\bruch{10}{5}[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ dachte ich
Das stimmt auch !
> weil die "0" sowie die negativen Zahlen der Summe
> ausgeschlossen werden müssen wegen dem "Betrag".
> Deiner Antwort entnehme ich aber, dass das nicht notwendig
> ist. Also muss der Def.bereich
> D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\infty[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ sein.
Das ist Quatsch !
>
> Jetzt hab ich meine Ungleichung in
>
> I [mm]\bruch{\overbrace{x+2}^{= x \in D}+1}{\underbrace{x+2}_{=x \in D}+3}[/mm]
> aufgesplittet
>
> und
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit [mm]\bruch{3}{7}[/mm] zu 0 verrechnet
Was hat Du gemacht ? Da komm ich nicht mit !
.
>
> jetzt hab ich I [mm]\bruch{x+2}{x+2}[/mm] < 0 und damit einen
> Schmarren oder besser, ein Problem.
Das wundert mich nicht. Anleitung:
Sei x [mm] \in [/mm] D, also [mm] \bruch{-11}{5}
Jetzt addierst du in dieser Ungleichung 3 bzw. 5 und erhälst (mit a,b,c,d e,f,welche Du berechnen sollst , nicht ich):
(1) a<x+3<b
bzw.
(2) c<x+5<d
Aus (2) erhälst Du eine Ungl, der Form
(3) e < [mm] \bruch{1}{x+5}
Nun multipliziere die Ungleichungen (1) und (3) und schau was passiert.
FRED
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> > Es sei [mm]x\in \IR[/mm] mit Ix+2I < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> >
> > man zeige:
> >
> > I [mm]\bruch{x+3}{x+5}[/mm] I [mm]\le \bruch{3}{7}[/mm]
> > Für welche x
> ist
> > die ungleichung erfüllt?
> >
> > x+2 < [mm]\bruch{1}{5}[/mm] ; x < - [mm]\bruch{9}{5}[/mm]
> >
> > Definitionsbereich:
> >
> > D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\bruch{10}{5}[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ dachte ich
>
>
> Das stimmt auch !
>
>
>
>
> > weil die "0" sowie die negativen Zahlen der Summe
> > ausgeschlossen werden müssen wegen dem "Betrag".
> > I [mm]\bruch{\overbrace{x+2}^{= x \in D}+1}{\underbrace{x+2}_{=x \in D}+3}[/mm]
> > aufgesplittet
> >
> > und
> >
> > [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit [mm]\bruch{3}{7}[/mm] zu 0 verrechnet
Ich meine natürlich ich hab [mm] \bruch{1}{3} [/mm] auf [mm] \bruch{7}{21} [/mm] erweitert und mit [mm] \bruch{3}{7} [/mm] = [mm] \bruch{9}{21} [/mm] verrechnet wobei [mm] \bruch{2}{21} [/mm] rauskommt.
>
> Was hat Du gemacht ? Da komm ich nicht mit !
>
>
> .
> >
> > jetzt hab ich I [mm]\bruch{x+2}{x+2}[/mm] < 0 und damit einen
> > Schmarren oder besser, ein Problem.
>
> Das wundert mich nicht. Anleitung:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] D, also [mm]\bruch{-11}{5}
>
> Jetzt addierst du in dieser Ungleichung 3 bzw. 5
wieso? Ich hab doch jetzt das x aus x+2, also meinen Def.raum ausgerechnet und da müsste ich doch nur noch die Differenz addieren; was auf das selbe rauskommt.
> und erhälst (mit a,b,c,d e,f,welche Du berechnen sollst , nicht ich
Dacht ich mir schon. Macht auch Sinn ;)) ):
>
> (1) a<x+3<b
> bzw.
>
> (2) c<x+5<d
>
> Aus (2) erhälst Du eine Ungl, der Form
>
> (3) e < [mm]\bruch{1}{x+5}
>
> Nun multipliziere die Ungleichungen (1) und (3) und schau
> was passiert.
Da komm ich jetzt nicht mit. Wenn ich schon den D. von x habe, brauch ich doch nur noch die Ränder in x einsetzen und schauen ob etwas stimmiges rauskommt. D.h. ob eine wahre Aussage zustande kommt!?
Semi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Vorweg: Zunaechst schlage ich Dir vor, Dich ausfuehrlich mit den Anordnungsaxiomen und den dort auftretenden Rechenregeln auseinanderzusetzen. Denn genau diese Rechenregeln musst Du hier von vorne bis hinten verwenden!
Zur Aufgabe: Die Ungleichung [mm] $|x+2|\leqslant\frac{1}{5}$ [/mm] ist doch gleichbedeutend mit
[mm] $-\frac{1}{5}\leqslant x+2\leqslant\frac{1}{5}$
[/mm]
Jetzt ziehe auf beiden Seiten 2 ab (Rechenregel: [mm] $x
[mm] $-\frac{11}{5}=-\frac{1}{5}-\frac{10}{5}\leqslant x\leqslant\frac{1}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{9}{5}$
[/mm]
Jetzt musst Du so weitermachen, wie Fred es Dir bereits (meiner Meinung nach ausgezeichnet) erklaert hat: Addiere auf die letzte Ungleichung $3$ bzw. $5$, dann erhaelst Du
(1) [mm] $0<\frac{4}{5}=-\frac{11}{5}+\frac{15}{5}\leqslant x+3\leqslant -\frac{9}{5}+\frac{15}{5}=\frac{6}{5}$
[/mm]
(2) [mm] $0<\frac{14}{5}=-\frac{11}{5}+\frac{25}{5}\leqslant x+5\leqslant -\frac{9}{5}+\frac{25}{5}=\frac{16}{5}$
[/mm]
Da Du eine Ungleichung fuer den Kehrwert aus Ungleichung (2) benoetigst, musst Du die Rechenregel [mm] "$0y^{-1}>0$" [/mm] verwenden. Dies liefert Dir
[mm] $\frac{5}{14}\geqslant\frac{1}{x+5}\geqslant\frac{5}{16}>0$
[/mm]
Der Uebersichtlichkeithalber schreiben wir sie umgekehrt auf:
(3) [mm] $0<\frac{5}{16}\leqslant\frac{1}{x+5}\leqslant\frac{5}{14}$
[/mm]
Nun multipliziere die Ungleichungen (1) und (3) miteinander:
(4) [mm] $\frac{1}{4}=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{16}\leqslant\frac{x+3}{x+5}\leqslant\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{3}{7}$
[/mm]
Betrachten wir nun den Betrag davon, so folgt aus (4) die gewuenschte Ungleichung
[mm] $\left|\frac{x+3}{x+5}\right|\leqslant\max\{\left|\frac{1}{4}\right|,\left|\frac{3}{7}\right|\}=\left|\frac{3}{7}\right|=\frac{3}{7}$
[/mm]
Hast Du es jetzt verstanden. Eigentlich ist es nicht meine Aufgabe, Dir dies bis ins letzte Detail durchzurechnen, aber nun hast Du Zeit die Rechenregeln und die Anordnungsaxiome zu wiederholen. Mache Dir anhand meiner Loesung ganz deutlich klar, an welcher Stelle welche Rechenregel eingegangen ist.
Gruss
Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt musst Du so weitermachen, wie Fred es Dir bereits
> (meiner Meinung nach ausgezeichnet) erklaert hat:
Danke
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Keine Ursache 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
kleine Fehleranmerkung:
> > Es sei [mm]x\in \IR[/mm] mit Ix+2I < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> >
> > man zeige:
> >
> > I [mm]\bruch{x+3}{x+5}[/mm] I [mm]\le \bruch{3}{7}[/mm]
> > Für welche x
> ist
> > die ungleichung erfüllt?
> >
> > x+2 < [mm]\bruch{1}{5}[/mm] ; x < - [mm]\bruch{9}{5}[/mm]
> >
> > Definitionsbereich:
> >
> > D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\bruch{10}{5}[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ dachte ich
>
>
> Das stimmt auch !
Nein, dass tut es nicht. Anstelle von [mm] $-\frac{10}{5}$ [/mm] muss dort [mm] $-\frac{11}{5}$ [/mm] stehen!
>
> > weil die "0" sowie die negativen Zahlen der Summe
> > ausgeschlossen werden müssen wegen dem "Betrag".
> > Deiner Antwort entnehme ich aber, dass das nicht notwendig
> > ist. Also muss der Def.bereich
> > D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\infty[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ sein.
>
>
> Das ist Quatsch !
>
>
> >
> > Jetzt hab ich meine Ungleichung in
> >
> > I [mm]\bruch{\overbrace{x+2}^{= x \in D}+1}{\underbrace{x+2}_{=x \in D}+3}[/mm]
> > aufgesplittet
> >
> > und
> >
> > [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit [mm]\bruch{3}{7}[/mm] zu 0 verrechnet
>
>
> Was hat Du gemacht ? Da komm ich nicht mit !
>
>
> .
> >
> > jetzt hab ich I [mm]\bruch{x+2}{x+2}[/mm] < 0 und damit einen
> > Schmarren oder besser, ein Problem.
>
> Das wundert mich nicht. Anleitung:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] D, also [mm]\bruch{-11}{5}
>
> Jetzt addierst du in dieser Ungleichung 3 bzw. 5 und
> erhälst (mit a,b,c,d e,f,welche Du berechnen sollst ,
> nicht ich):
>
> (1) a<x+3<b
> bzw.
>
> (2) c<x+5<d
>
> Aus (2) erhälst Du eine Ungl, der Form
>
> (3) e < [mm]\bruch{1}{x+5}
>
> Nun multipliziere die Ungleichungen (1) und (3) und schau
> was passiert.
>
> FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> kleine Fehleranmerkung:
>
> > > Es sei [mm]x\in \IR[/mm] mit Ix+2I < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> > >
> > > man zeige:
> > >
> > > I [mm]\bruch{x+3}{x+5}[/mm] I [mm]\le \bruch{3}{7}[/mm]
> > > Für
> welche x
> > ist
> > > die ungleichung erfüllt?
> > >
> > > x+2 < [mm]\bruch{1}{5}[/mm] ; x < - [mm]\bruch{9}{5}[/mm]
> > >
> > > Definitionsbereich:
> > >
> > > D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\bruch{10}{5}[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ dachte ich
> >
> >
> > Das stimmt auch !
>
>
> Nein, dass tut es nicht. Anstelle von [mm]-\frac{10}{5}[/mm] muss
> dort [mm]-\frac{11}{5}[/mm] stehen!
Danke ! Tippfehler von mir
FRED
>
>
> >
> > > weil die "0" sowie die negativen Zahlen der Summe
> > > ausgeschlossen werden müssen wegen dem "Betrag".
> > > Deiner Antwort entnehme ich aber, dass das nicht notwendig
> > > ist. Also muss der Def.bereich
> > > D: x [mm]\in[/mm] ] - [mm]\infty[/mm] ; - [mm]\bruch{9}{5}[/mm] [ sein.
> >
> >
> > Das ist Quatsch !
> >
> >
> > >
> > > Jetzt hab ich meine Ungleichung in
> > >
> > > I [mm]\bruch{\overbrace{x+2}^{= x \in D}+1}{\underbrace{x+2}_{=x \in D}+3}[/mm]
> > > aufgesplittet
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit [mm]\bruch{3}{7}[/mm] zu 0 verrechnet
> >
> >
> > Was hat Du gemacht ? Da komm ich nicht mit !
> >
> >
> > .
> > >
> > > jetzt hab ich I [mm]\bruch{x+2}{x+2}[/mm] < 0 und damit einen
> > > Schmarren oder besser, ein Problem.
> >
> > Das wundert mich nicht. Anleitung:
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] D, also [mm]\bruch{-11}{5}
> >
> > Jetzt addierst du in dieser Ungleichung 3 bzw. 5 und
> > erhälst (mit a,b,c,d e,f,welche Du berechnen sollst ,
> > nicht ich):
> >
> > (1) a<x+3<b
> > bzw.
> >
> > (2) c<x+5<d
> >
> > Aus (2) erhälst Du eine Ungl, der Form
> >
> > (3) e < [mm]\bruch{1}{x+5}
> >
> > Nun multipliziere die Ungleichungen (1) und (3) und schau
> > was passiert.
> >
> > FRED
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