Ungleichung mit Bernoulli < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es soll mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung gezeigt werden, dass
[mm] 1.$2n^{n}\le (1+n)^{n}$ $\forall n\ge [/mm] 1$ |
Hallo,
Beim Verwenden der Bernoullischen Ungleichung, wenn man die Form
[mm] $(1+a)^{b}\ge [/mm] 1+ab$ und [mm] $(1+c)^{d}\ge [/mm] 1+cd$ hat, und dann folge daraus
[mm] $1+cd\ge [/mm] 1+ab$, wäre damit auch gezeigt, dass [mm] $(1+c)^{d}\ge (1+a)^{b}$ [/mm] ist? Ist die Abschätzung immer gleich gross unabhängig vom Inhalt der Klammer?
1.Für die linke Seite:
[mm] $2n^{n}=2(1+(n-1))^{n}\ge 2(1+n^{2}-n)=2+2n^{2}-2n$
[/mm]
rechts:
[mm] $(1+n)^{n}\ge 1+n^{2}$
[/mm]
1.
[mm] $1+n^{2}\ge 2n^{n}$ [/mm] klappt nicht
2.
[mm] $1+n^{2}\ge 2+2n^{2}-2n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -1-n^{2}-2n \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow (n+1)^{2}\le [/mm] 0$ klappt nicht
3.
[mm] $2n^{n}\le (1+n)^{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt[n]{2}n \le [/mm] 1+n$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le 1+n-\sqrt[n]{2}n$ [/mm] stecke hier fest
Wie komme ich weiter?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo,
ich verstehe gar nicht, wozu Bernoulli hier gut sein soll:
[mm] (1+n)^n=1+n+\vektor{n \\ 2}n^2+\ldots+\vektor{n \\ n-1}n^{n-1}+n^n
[/mm]
Die letzten beiden Summanden alleine sind [mm] =2n^n. [/mm] Da alle anderen Summanden positiv sind (wegen [mm] n\geq [/mm] 1) folgt die Behauptung.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
Dann ist die Aufgabe eine Fangaufgabe und man hätte von Anfang an nicht Bernoulli benutzen sollen sondern den Binomialkoeffizient?
Danke
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Dann ist die Aufgabe eine Fangaufgabe und man hätte von
> Anfang an nicht Bernoulli benutzen sollen sondern den
> Binomialkoeffizient?
Naja, benutzt wurde der binomische (Lehr-)Satz.
Ich sehe keine direkte Lösung mit Bernoulli. Ich setze die Frage aber nur auf teilweise beantwortet, vielleicht hat ein anderes Forenmitglied noch einen Geistesblitz dazu. So wie die Aufgabenstellung formuliert ist, sollte sie ja schon mit Bernoulli gelöst werden können.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 So 13.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo kushkush,
> > Dann ist die Aufgabe eine Fangaufgabe und man hätte von
> > Anfang an nicht Bernoulli benutzen sollen sondern den
> > Binomialkoeffizient?
> Naja, benutzt wurde der binomische (Lehr-)Satz.
welcher übrigens insbesondere Bernoulli beinhaltet.
> Ich sehe keine direkte Lösung mit Bernoulli. Ich setze die
> Frage aber nur auf teilweise beantwortet, vielleicht hat
> ein anderes Forenmitglied noch einen Geistesblitz dazu. So
> wie die Aufgabenstellung formuliert ist, sollte sie ja
> schon mit Bernoulli gelöst werden können.
Es war gar nicht so schwer. Manchmal muss man halt ein wenig umformen, um auf bekanntes zu stoßen:
[mm] $$2n^n \le (1+n)^n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2 [mm] \le \left(\frac{1+n}{n}\right)^n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2 [mm] \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,.$$
[/mm]
Dass diese Ungleichung stimmt, weiß man, wenn man sich (bzgl. der Eulerschen Zahl [mm] $e\,$) [/mm] schonmal mit der Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_n$ [/mm] befasst hat. Wenn man dies noch nicht weiß, so erkennt man die Korrektheit dieser Ungleichung eben mit Bernoulli (das macht man meist eh, wenn man sich bzgl. [mm] $e\,$ [/mm] mit obiger Folge befasst).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 So 13.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hi marcel,
das ist richtig 
Schöne Lösung!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 13.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nach Bernoullie gilt
[mm] $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 1+n*\frac{1}{n}=2\,,$$
[/mm]
woraus nach einer einfachen Umformung schon alles folgt. (Wenn Du sie sehen willst/musst, siehe unten [mm] $(\star)$.)
[/mm]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
[mm] $$(\star)\;\;\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge [/mm] 2$$
[mm] $$\Rightarrow \frac{(n+1)^n}{n^n} \ge [/mm] 2$$
[mm] $$\Rightarrow (1+n)^n \ge 2n^n\,.$$
[/mm]
Dabei könnte man insbesondere jedes [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] durch ein [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen.
P.S.:
Dass man dies mit dem binomischen Lehrsatz auch herleiten kann, ist vollkommen klar. Schließlich kann man die Bernoullische Ungleichung auch aus dem bin. Lehrsatz folgern.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Marcel,
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
