Ungleichung mit 3 Faktoren < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:54 Do 04.11.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Folgende Ungleichung ist gegeben:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2<0
Die Lösungsmenge soll bestimmt werden. |
Das Problem bei dieser Ungleichung ist, dass ich 3 Faktoren habe.
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2<0
= (x - [mm] \wurzel{2})(x [/mm] + [mm] \wurzel{2})(x [/mm] - 1) < 0
Der Ansatz ist doch: Die ungleichung wird nicht erfült, wenn einer der Faktoren > 0 ist. Das sind 4 Fälle.
1Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1
2 Fall:
x > [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1
3 Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x > - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1
4 Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x > 1
Habe jetzt alle Möglichen Kombinationen aufgeschrieben.
Nun muss ichh doch gucken, welche Kombinationen erfüllt "wahr" sind.
Dazu kann ich doch eine 1 einsetzen und prüfen.
Das Problem ist keine der Gleichungen wird für den Wert 1 erfült.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Folgende Ungleichung ist gegeben:
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 2<0
>
> Die Lösungsmenge soll bestimmt werden.
> Das Problem bei dieser Ungleichung ist, dass ich 3
> Faktoren habe.
>
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 2<0
> = (x - [mm]\wurzel{2})(x[/mm] + [mm]\wurzel{2})(x[/mm] - 1) < 0
>
> Der Ansatz ist doch: Die ungleichung wird nicht erfült,
> wenn einer der Faktoren > 0 ist. Das sind 4 Fälle.
>
> 1Fall:
> x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1
>
> 2 Fall:
> x > [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1
>
> 3 Fall:
> x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x > - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1
>
> 4 Fall:
> x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x > 1
>
> Habe jetzt alle Möglichen Kombinationen aufgeschrieben.
> Nun muss ichh doch gucken, welche Kombinationen erfüllt
> "wahr" sind.
>
Ja, das solltest Du
> Dazu kann ich doch eine 1 einsetzen und prüfen.
> Das Problem ist keine der Gleichungen wird für den Wert 1
> erfült.
Das ist ja auch kein Wunder, denn wenn ein x die Ungl. erfüllt, so muß notwendigerweise x>1 oder x<1 sein !
Das ganze geht aber viel einfacher: Deine Ungl. ist gleichbedeutend mit:
(*) [mm] (x^2-2)(x-1)<0.
[/mm]
Dann:
(*) [mm] \gdw (x^2<2 [/mm] und x>1) oder [mm] (x^2>2 [/mm] und x<1)
Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig, also:
(*) [mm] \gdw (x^2<2 [/mm] und x>1) [mm] \gdw [/mm] |x|< [mm] \wurzel{2} [/mm] und x>1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (1, [mm] \wurzel{2})
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 04.11.2010 | | Autor: | zoj |
Erstmal danke für deine Lösung.
Aber irgendetwas scheint nicht zu stimmen.
Herauskommen soll: x < [mm] -\wurzel{2} \cup [/mm] 1 < x < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Die Gleichung: [mm] (x^2<2 [/mm] $ und x>1) wird doch für Wert 1 nicht erfüllt.
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Hallo,
betrachte die Funktion [mm] f(x)=(x^{2}-2)*(x-1) [/mm] mit den Nullstellen [mm] x_1=-\wurzel{2}, x_2=1 [/mm] und [mm] x_3=\wurzel{2} [/mm] also [mm] x<-\wurzel{2} [/mm] oder [mm] 1
die Aussage von fred97 "Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig" ist so nicht ok, betrachte z.B. -2
aus [mm] x^{2}<2 [/mm] und x>1 folgt [mm] 1
aus [mm] x^{2}>2 [/mm] und x<1 folgt [mm] x<-\wurzel{2}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 04.11.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo FRED
"Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig"
können wir so nicht stehen lassen, x=-2 erfüllt diese Aussage
Steffi
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