Ungleichung mit 3. Wurzel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie: Für [mm] [latex]a,b,c\in \mathbb [/mm] R ^+[/latex] gilt:
[mm] \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3} [/mm] |
Ich hab natürlich schon versucht das ganze zu lösen.
abc [mm] \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}
[/mm]
0 [mm] \leq \frac{(a+b+c)^3}{27} [/mm] -abc
0 [mm] \leq \frac{(a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc-27abc)}{27}
[/mm]
0 [mm] \leq a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2-21abc
[/mm]
0 [mm] \leq a^2(a+3(b+c))+b^2(b+3(a+c))+c^2(c+3(a+b)-21abc
[/mm]
diese 21abc stören mich nun schon sehr...
wie mache ich hier am besten weiter?
oder gibt es eher noch einen anderen Ansatz?
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Hallo Nadelspitze,
> Zeigen sie: Für [mm][latex]a,b,c\in \mathbb[/mm] R ^+[/latex]
> gilt:
> [mm]\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}[/mm]
Das ist ein Spezialfall der ![[]](/images/popup.gif) Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Es gibt viele Möglichkeiten diese zu beweisen, einige sind bei Wikipedia aufgeführt. Welche für dich passend ist, hängt ganz von den Mitteln ab, die dir schon bekannt sind.
LG
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Hallo Kamaleonti,
das ist mein erstes Ana Übungsblatt und eigentlich stehen uns weder Exponentialfunktion noch Logarithmus zur Verfügung.
Bisher haben wir die Ungleichungen eher immer so Bewiesen, dass wir 0<=x hatten und nur noch sagen mussten, warum x>=0 (z.B. [mm] a^2>=0)
[/mm]
bin also gerade bei der Aufgabe ein wenig verwirrt.
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Hallo Nadelspitze,
das ist ja ein bisschen fies.
> das ist mein erstes Ana Übungsblatt und eigentlich stehen
> uns weder Exponentialfunktion noch Logarithmus zur
> Verfügung.
>
> Bisher haben wir die Ungleichungen eher immer so Bewiesen,
> dass wir 0<=x hatten und nur noch sagen mussten, warum x>=0
> (z.B. [mm]a^2>=0)[/mm]
Ich machs Dir mal für zwei Variable vor. Wenn ich mich recht erinnere, geht die Variante für drei Variable recht ähnlich.
Seien [mm] x,y\in\IR^+. [/mm] Dann gilt [mm] \wurzel{xy}\le\bruch{x+y}{2}
[/mm]
Beweis:
Quadrieren ist als Äquivalenzumformung erlaubt, da [mm] x,y\ge0.
[/mm]
[mm] \gdw xy\le\bruch{(x+y)^2}{4}
[/mm]
[mm] \gdw 4xy\le x^2+2xy+y^2
[/mm]
[mm] \gdw 0\le x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=(y-x)^2
[/mm]
Diese Ungleichung ist erfüllt, da [mm] \forall z\in\IR\Rightarrow z^2\ge0.
[/mm]
> bin also gerade bei der Aufgabe ein wenig verwirrt.
Im Moment krieg ich nicht mehr zusammen, wo das Argument bei den dritten Potenzen war; genauso kann es ja nicht sein.
Vielleicht bringt es Dich (oder jemand anders) aber trotzdem (wieder) auf die richtige Idee.
Ich lasse die Frage daher auch halboffen.
Grüße
reverend
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ich hab zwar nun noch ein paar mal umgestellt, aber wirklich sinn macht leider nichts von dem... meine letzte umstellung lautet
[mm] 0\le a(a^2+3(b(a+b-7c)+c(a+c)))+b(3c(b+1))+c^3
[/mm]
nicht wirklich sinnvoll :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich hab zwar nun noch ein paar mal umgestellt, aber
> wirklich sinn macht leider nichts von dem... meine letzte
> umstellung lautet
>
> [mm]0\le a(a^2+3(b(a+b-7c)+c(a+c)))+b(3c(b+1))+c^3[/mm]
>
> nicht wirklich sinnvoll :(
Ich hab's so geschafft:
Setze $X := b + c$ und $Y := b c$. Mit der Ungleichung fuer zwei Unbestimmten folgt $2 Y [mm] \le X^2$.
[/mm]
Damit ist $9 a b c = [mm] \tfrac{9}{2} [/mm] a 2 Y [mm] \le \tfrac{9}{2} [/mm] a [mm] X^2$. [/mm] Weiterhin ist $(a + b + [mm] c)^3 [/mm] = (a + [mm] X)^3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] + 3 [mm] a^2 [/mm] X + 3 a [mm] X^2 [/mm] + [mm] X^3$.
[/mm]
Es reicht also aus, [mm] $\tfrac{9}{2} [/mm] a [mm] X^2 \le a^3 [/mm] + 3 [mm] a^2 [/mm] X + 3 a [mm] X^2 [/mm] + [mm] X^3$ [/mm] zu zeigen, oder anders gesagt [mm] $\tfrac{3}{2} [/mm] a [mm] X^2 \le a^3 [/mm] + 3 [mm] a^2 [/mm] X + [mm] X^3$. [/mm] Der Fall $a > X$ ist nicht sonderlich schwer, da dann $a [mm] X^2 [/mm] < [mm] a^2 [/mm] X$ ist. Bleibt also der Fall $a [mm] \le [/mm] X$.
In dem Fall kann man $X = a + T$ schreiben mit $T [mm] \ge [/mm] 0$. Wenn man das einsetzt und ausmultipliziert, sieht man ziemlich schnell dass die Ungleichung stimmt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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