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| Aufgabe | Beweisen sie die Ungleichung
[mm] \frac{x}{1+x} [/mm] < [mm] \ln [/mm] (1+x) < x für x>0
mit Hilfe eines Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
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mir fehlt leider die zündende Idee, den Mittelwertsatz, auch den Satz von Rolle kann ich hier leider nicht wirklich auf die Problemstellung beziehen. Hat jemand vielleicht einen kleinen Hinweis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Aufgabe ist an sich nicht schwer, man muss es einfach mal gesehen haben.
Der Mittelwertsatz sagt aus, dass es für jeden Differenzenquotienten [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] mindestens ein [mm] f'(\mu) [/mm] gibt, sodass [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\mu).
[/mm]
Jetzt wenden wir einfach mal den Mittelwertsatz auf das Interwall (0,x) an:
[mm] \bruch{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0}=\bruch{ln(1+x)}{x}\underbrace{=}_{MWS}\bruch{1}{1+\mu}, [/mm] mit [mm] \mu\in(0,x). [/mm]
Mit Hilfe unseres Interwalls gilt folgende Ungleichung: [mm] \bruch{1}{1+x}<\bruch{1}{1+\mu}<1. [/mm]
Jetzt multiplizieren wir diese Ungleichung mit x (x>0 müsste gegeben sein):
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{1+x}<\bruch{x}{1+\mu}
Die aus dem Mittelwertsatz bestimmte Gleichung einwenig umgeformt sagt aus: [mm] \bruch{ln(1+x)}{x}=\bruch{1}{1+\mu} \gdw ln(1+x)=\bruch{x}{1+\mu}. [/mm] Das können wir oben einsetzten:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{x}{1+x}<\bruch{x}{1+\mu}
Damit sind wir fertig!
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
lg Kai
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danke sehr, genau das ist es!!! mir fehlte vielleicht ein bisschen die experimentierfreudigkeit
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