Ungleichung lösen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr alle!
Ich habe hier eine Ungleichung, mit der ich nicht ganz klar komme. Ich soll sie nach x auflösen:
1 - ( [mm] \bruch{x-2}{x} )^{2} \le \bruch{4x-4}{3x+4}
[/mm]
Ich bin soweit gekommen:
Klammer auflösen
1 - [mm] \bruch{(x-2)^{2}}{x^{2}} \le \bruch{4x-4}{3x+4}
[/mm]
1 - [mm] \bruch{x^{2} - 4x + 4}{x^{2}} \le \bruch{4x-4}{3x+4}
[/mm]
alles mit x auf die linke Seite, alles ohne x auf die rechte Seite
[mm] \bruch{x^{2} - 4x + 4}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{4x-4}{3x+4} \ge [/mm] 1
Brüche gleichnamig machen
[mm] \bruch{(x^{2} - 4x + 4) * (3x + 4)}{x^{2} * (3x + 4)} [/mm] + [mm] \bruch{(4x-4) * x^{2}}{(3x+4) * x^{2}} \ge [/mm] 1
So weit wie möglich zusammenfassen
[mm] \bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge [/mm] 1
So, nun bin ich an einem Punkt, wo ich nicht mehr genau weiter weiß. Ich würde jetzt beide Seiten der Ungleichung mit dem Nenner multiplizieren, dann erhalte ich auf der rechten Seite eine Summe, und kann diese Zahlen dann wieder auf die linke Seite subtrahieren.
Allerdings, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert, dann dreht sich ja das Zeichen um, und ich weiß ja nicht, ob der Nenner positiv oder negativ ist. Das heißt, eigentlich müsste ich doch jetzt eine Fallunterscheidung machen, oder?
Ich hab das einfach mal gemacht, bei mir ist folgendes dabei rausgekommen:
1. Fall: [mm] 3x^{3} [/mm] + [mm] 4^{2} \ge [/mm] 0 (Frage: Muss es echt größer Null sein, oder größergleich Null?)
[mm] \bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge [/mm] 1
beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren
[mm] 7x^{3} [/mm] - [mm] 12^{2} [/mm] - 4x + 16 [mm] \ge 3x^{3} [/mm] + [mm] 4^{2}
[/mm]
alles mit x auf die linke Seite, alles ohne x auf die rechte Seite
[mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 16^{2} [/mm] - 4x [mm] \ge [/mm] -16
4 ausklammern
4 * [mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 4^{2} [/mm] - 1) [mm] \ge [/mm] -16
durch 4 teilen
[mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 4^{2} [/mm] - 1) [mm] \ge [/mm] -4
So, meine weitere Idee war nun, das x auszuklammern. Ich erhalte dann
x * [mm] (x^{2} [/mm] - 4x + 1) [mm] \ge [/mm] -4
Ich wollte nun folgendes machen:
x [mm] \ge [/mm] -4 und/oder [mm] (x^{2} [/mm] - 4x + 1) [mm] \ge [/mm] -4
Hab dann auch mal weitergerechnet, erhalte auch Ergebnisse, und in der Probe erhalte ich eine wahre Aussage. Allerdings hat mir eine Freundin gestern in ihren Unterlagen gezeigt, das man das mit dem Splitten so nicht machen darf.
Bei uns in der Vorlesung haben wir aber mal ein Produkt aufgesplittet, allerdings stand auf der rechten Seite [mm] \ge [/mm] 0. Wir haben dann so gesplittet, das wir gesagt haben:
1. Fall: 1. Faktor [mm] \ge [/mm] 0 und 2. Faktor [mm] \ge [/mm] 0
2. Fall: 1. Faktor [mm] \le [/mm] 0 und 2. Faktor [mm] \le [/mm] 0
Mit pq-Formel kann man eine Ungleichung nicht lösen, oder?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
LG, Nadine
Ach ja, ich hab noch eine Frage: Wann benutzt man bei Ungleichungen "und" und wann "oder"?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 09.11.2005 | | Autor: | stevarino |
> Hallo ihr alle!
>
> Ich habe hier eine Ungleichung, mit der ich nicht ganz klar
> komme. Ich soll sie nach x auflösen:
>
> 1 - ( [mm]\bruch{x-2}{x} )^{2} \le \bruch{4x-4}{3x+4}[/mm]
>
> Ich bin soweit gekommen:
>
>
>
> Klammer auflösen
>
> 1 - [mm]\bruch{(x-2)^{2}}{x^{2}} \le \bruch{4x-4}{3x+4}[/mm]
>
> 1 - [mm]\bruch{x^{2} - 4x + 4}{x^{2}} \le \bruch{4x-4}{3x+4}[/mm]
>
> alles mit x auf die linke Seite, alles ohne x auf die
> rechte Seite
>
> [mm]\bruch{x^{2} - 4x + 4}{x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{4x-4}{3x+4} \ge[/mm]
> 1
>
>
>
> Brüche gleichnamig machen
>
> [mm]\bruch{(x^{2} - 4x + 4) * (3x + 4)}{x^{2} * (3x + 4)}[/mm] +
> [mm]\bruch{(4x-4) * x^{2}}{(3x+4) * x^{2}} \ge[/mm] 1
>
>
>
> So weit wie möglich zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge[/mm] 1
Ich würde den Einser von der rechten Seite auch noch nach links bringen
dann würde man sich glaub ich die Fallunterscheidung sparen weil ja rechts immer Null steht jetzt kann man mit dem Nenner multiplizieren und die Gleichung lösen.
> So, nun bin ich an einem Punkt, wo ich nicht mehr genau
> weiter weiß. Ich würde jetzt beide Seiten der Ungleichung
> mit dem Nenner multiplizieren, dann erhalte ich auf der
> rechten Seite eine Summe, und kann diese Zahlen dann wieder
> auf die linke Seite subtrahieren.
>
> Allerdings, wenn man mit einer negativen Zahl
> multipliziert, dann dreht sich ja das Zeichen um, und ich
> weiß ja nicht, ob der Nenner positiv oder negativ ist. Das
> heißt, eigentlich müsste ich doch jetzt eine
> Fallunterscheidung machen, oder?
>
> Ich hab das einfach mal gemacht, bei mir ist folgendes
> dabei rausgekommen:
>
>
>
> 1. Fall: [mm]3x^{3}[/mm] + [mm]4^{2} \ge[/mm] 0 (Frage: Muss es echt größer
> Null sein, oder größergleich Null?)
>
>
>
> [mm]\bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge[/mm] 1
>
>
>
> beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren
>
> [mm]7x^{3}[/mm] - [mm]12^{2}[/mm] - 4x + 16 [mm]\ge 3x^{3}[/mm] + [mm]4^{2}[/mm]
>
>
>
> alles mit x auf die linke Seite, alles ohne x auf die
> rechte Seite
>
> [mm]4x^{3}[/mm] - [mm]16^{2}[/mm] - 4x [mm]\ge[/mm] -16
>
>
>
> 4 ausklammern
>
> 4 * [mm](x^{3}[/mm] - [mm]4^{2}[/mm] - 1) [mm]\ge[/mm] -16
>
>
>
> durch 4 teilen
>
> [mm](x^{3}[/mm] - [mm]4^{2}[/mm] - 1) [mm]\ge[/mm] -4
>
>
>
> So, meine weitere Idee war nun, das x auszuklammern. Ich
> erhalte dann
>
> x * [mm](x^{2}[/mm] - 4x + 1) [mm]\ge[/mm] -4
>
> Ich wollte nun folgendes machen:
>
> x [mm]\ge[/mm] -4 und/oder [mm](x^{2}[/mm] - 4x + 1) [mm]\ge[/mm] -4
>
> Hab dann auch mal weitergerechnet, erhalte auch Ergebnisse,
> und in der Probe erhalte ich eine wahre Aussage. Allerdings
> hat mir eine Freundin gestern in ihren Unterlagen gezeigt,
> das man das mit dem Splitten so nicht machen darf.
>
> Bei uns in der Vorlesung haben wir aber mal ein Produkt
> aufgesplittet, allerdings stand auf der rechten Seite [mm]\ge[/mm]
> 0. Wir haben dann so gesplittet, das wir gesagt haben:
>
> 1. Fall: 1. Faktor [mm]\ge[/mm] 0 und 2. Faktor [mm]\ge[/mm] 0
> 2. Fall: 1. Faktor [mm]\le[/mm] 0 und 2. Faktor [mm]\le[/mm] 0
>
> Mit pq-Formel kann man eine Ungleichung nicht lösen, oder?
>
>
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
>
> LG, Nadine
>
>
>
> Ach ja, ich hab noch eine Frage: Wann benutzt man bei
> Ungleichungen "und" und wann "oder"?
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine!
> So weit wie möglich zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber Du unterschlägst hier immer ein armes $x_$  :
[mm]\bruch{7x^3 - 12\red{x}^2 - 4x + 16}{3x^3 + 4\red{x}^2} \ \ge \ 1[/mm]
> Das heißt, eigentlich müsste ich doch jetzt eine
> Fallunterscheidung machen, oder?
Genau!!
> Ich hab das einfach mal gemacht, bei mir ist folgendes
> dabei rausgekommen:
>
> 1. Fall: [mm]3x^{3}[/mm] + [mm]4^{2} \ge[/mm] 0 (Frage: Muss es echt größer
> Null sein, oder größergleich Null?)
Echt größer! Weil der Fall $(...) \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ darf aus zwei Gründen nicht eintreten: Zum einen ist es ja bereits durch den Definitionsbereich ausgeschlossen, da sonst bereits vorher der Nenner Null gewesen wäre.
Zum anderen darfst Du eine Gleichung nie mit Null multiplizieren!
Wann genau gilt denn nun: [mm] $3x^3+4x^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2*(3x+4) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ ??
> [mm]\bruch{7x^{3} - 12^{2} - 4x + 16}{3x^{3} + 4^{2}} \ge[/mm] 1
>
> beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren
>
> [mm]7x^{3}[/mm] - [mm]12^{2}[/mm] - 4x + 16 [mm]\ge 3x^{3}[/mm] + [mm]4^{2}[/mm]
>
> alles mit x auf die linke Seite, alles ohne x auf die
> rechte Seite
>
> [mm]4x^{3}[/mm] - [mm]16^{2}[/mm] - 4x [mm]\ge[/mm] -16
Hier hat stevarino ja bereits geschrieben: Alles auf eine Seite bringen und anschließend das Polynom weitestgehend faktorisieren.
> Hab dann auch mal weitergerechnet, erhalte auch Ergebnisse,
> und in der Probe erhalte ich eine wahre Aussage. Allerdings
> hat mir eine Freundin gestern in ihren Unterlagen gezeigt,
> das man das mit dem Splitten so nicht machen darf.
Da hat sie bzw. haben ihre Unterlagen Recht. Man "darf" das schon machen, aber es bringt einen nicht weiter ...
> Bei uns in der Vorlesung haben wir aber mal ein Produkt
> aufgesplittet, allerdings stand auf der rechten Seite [mm]\ge[/mm]
> 0. Wir haben dann so gesplittet, das wir gesagt haben:
>
> 1. Fall: 1. Faktor [mm]\ge[/mm] 0 und 2. Faktor [mm]\ge[/mm] 0
> 2. Fall: 1. Faktor [mm]\le[/mm] 0 und 2. Faktor [mm]\le[/mm] 0
Ganz genau so!
> Mit pq-Formel kann man eine Ungleichung nicht lösen, oder?
Noch nicht! Du hast ja dann ein kubisches Polynom stehen. Dieses kannst Du durch Raten einer Nullstelle sowie anschließender  Polynomdivision faktorisieren. Dem entstehenden quadratischen Term kannst Du dann endlich mit der p/q-Formel zu Leibe rücken.
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 10.11.2005 | | Autor: | Pacapear |
Guten morgen!
Also ich war ja hier: [mm] \bruch{7x^{3} - 12x^{2} - 4x + 16}{3x^{3} - 4x^{2}} \ge [/mm] 1.
So, nun kommt ja die Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] 3x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] > 0
[mm] \bruch{7x^{3} - 12x^{2} - 4x + 16}{3x^{3} - 4x^{2}} \ge [/mm] 1
mit Nenner multiplizieren
[mm] 7x^{3} [/mm] - [mm] 12x^{2} [/mm] - 4x + 16 [mm] \ge 3x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2}
[/mm]
vereinfachen
[mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 16x^{2} [/mm] - 4x + 16 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] - x + 4 [mm] \ge [/mm] 0
So, nun soll ich das Faktorisieren. Das heißt doch, dass ich den ganzen Kram auf der linken Seite so umformen soll, das a nur noch Faktoren stehen, oder? Dazu setz ich den Term gleich Null, rechne die Nullstellen von dem Ding aus, und erhalte ein Produkt, dass wie folgt aussieht: [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] Nullstelle_{1}) [/mm] * [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] Nullstelle_{2}) [/mm] * [mm] (x_{3} [/mm] - [mm] Nullstelle_{3}). [/mm] Ist das richtig so?
Also los gehts mit der Polynomdivision:
Rate 1. Nullstelle: x=1
[mm] \Rightarrow (x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] - x + 4) : (x-1) = [mm] x^{2} [/mm] - 3x - 4
Diese Polynomdivision geht auch glatt auf!
So, nun rechne ich dir Nullstellen von der Quadratischen Restgleichung mit pq-Formel aus:
- [mm] \bruch{-3}{2} \pm \wurzel{ (\bruch{-3}{2})^{2} - (-4)}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} \pm \wurzel{ \bruch{9}{4} + 4}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} \pm \bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}=4 [/mm] und/oder [mm] x_{2}=-1
[/mm]
So, nun erhalte ich die faktorisierte Gleichung:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] - x + 4 = (x-1) * (x-4) * (x+1)
Und das setz ich wieder in meine Ursprüngliche Gleichung ein:
(x-1) * (x-4) * (x+1) [mm] \ge [/mm] 0
So, ich geb den Dingern ertsmal Namen:
(x-1) = F1, (x-4) = F2, (x+1) = F3
Und jetzt muss ich wieder eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1a) F1 [mm] \ge [/mm] 0 und F2 [mm] \ge [/mm] 0 und F3 [mm] \ge [/mm] 0
Fall 1b) F1 [mm] \le [/mm] 0 und F2 [mm] \le [/mm] 0 und F3 [mm] \ge [/mm] 0
Fall 1c) F1 [mm] \le [/mm] 0 und F3 [mm] \le [/mm] 0 und F2 [mm] \ge [/mm] 0
Fall 1d) F2 [mm] \le [/mm] 0 und F3 [mm] \le [/mm] 0 und F1 [mm] \ge [/mm] 0
aus Fall 1a) erhalte ich als Lösung: x [mm] \ge [/mm] 1 und x [mm] \ge [/mm] 4 und x [mm] \ge [/mm] -1.
Um die Lösung besser zu erkennen, male ich alle 3 Lösungen in einen Zahlenstrahl. Da die drei Lösungen alle mit einem "und" verknüpft sind, erhalte ich dann für die Gesamtlösung des Falles das Stück Zahlenstrahl, auf dem sich alle drei Pfeile überschneiden.
..I---------------------------------------------------------------------------------->
.........................................I---------------------------------------------->
...........I------------------------------------------------------------------------>
__________________________________________________________
.-1........1.............................4
Ich hab leider keinen Scanner in Reichweite, deshalb hab ich mal vesucht, es so zu malen, ich hoffe, man kann es einigermaßen erkennen.
So, damit erhalte ich als Gesamtlösung für den Fall 1a): x [mm] \ge [/mm] 4.
So, weiter mit Fall 1b): Die Lösungen davon sind x [mm] \le [/mm] 1 und x [mm] \le [/mm] 4 und x [mm] \ge-1. [/mm] Damit erhalte ich folgenden Zahlenstrahl:
........................I--------------------------------------------------------------->
<--------------------------------------------------------------I
<------------------------------------I
_____________________________________________________________________
.......................-1............1.........................4
Jetzt überschneiden sich die drei Pfeile zwischen -1 und 1, das gibt dann als Gesamtlösung für den Fall 1b): -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
So, nun zu Fall 1c). Als Lösungen erhalte ich: x [mm] \le [/mm] 1 und x [mm] \le [/mm] -1 und x [mm] \ge [/mm] 4. Das gibt dann folgenden Zahlenstrahl:
<-----------I
<---------------------I
..................................................I----------------->
________________________________________________________
...........-1.........1...........................4
Hier bin ich nicht sicher, ob es für den Fall 1c) überhaupt eine Lösung gibt, weil die drei Pfeile über schneiden sich ja an keiner Stelle alle. Oder muss ich hier als Lösung dann nur angeben, wo sich zwei der Pfeile überschneiden, also x [mm] \le [/mm] -1?
Bei Fall 1d) hab ich auch so ein Problem: Ich erhalte als Lösung: x [mm] \le [/mm] 4 und x [mm] \le [/mm] -1 und x [mm] \ge [/mm] 1. Das sieht dann so aus:
<------------I
.....................................I----------------------------------->
<-------------------------------------------------I
______________________________________________________________
............-1.......................1.............4
Jetzt hab ich ja quasi wieder das selbe Problem wie grade. Und wenn ich jetzt die beiden Teilstücke als Lösung angeben würde, bei dem sich zwei der 3 Pfeile überschneiden, dann hätte ich ja zwei Lösungen für x und das wäre ja dann eine "oder"-Verknüpfung und keine "und"-Verknüpfung mehr. Heißt das, dass es dann für den Fall d) keine Lösung gibt?
Um jetzt eine Gesamtlösung für den ersten Fall zu erhalten, muss ich doch dann alle Ergebnisse der Unter-Fallunterscheidungen auch nochmal auf einen Zahlenstrahl malen, und dann gucken, oder? Aber sind diese 4 Unter-Fälle mit "und" oder mit "oder" verknüpft?
Und dann muss ich doch das selbe noch mal für den zweiten Fall machen, oder? Der lautet doch dann:
1. Fall: [mm] 3x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] < 0, also [mm] -(3x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2}). [/mm] Richtig so? Das Zeichen dreht sich doch dann bei der Multiplikation um, oder?
Freu mich schon auf eure Antwort!
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
bis (x-1)(x-4)(x+1) [mm] \ge [/mm] 0 ist alles ok.
Dann machst Du Dir's aber unnötig schwer:
Schau Dir den Graphen von f(x) = (x-1)(x+1)(x-4) auf dem PC oder TR an.
Dann siehst Du, dass f(x) zwischen -1 und 1 und ab 4 größer 0 ist.
Dann siehst Du auch folgende Begründung leicht ein:
Für -1 < x < 1 ist (x-1) negativ, erst recht (x-4) und (x+1) ist als einziges positv: also ist f(x) dort positiv.
Für x < -1 sind alle drei Faktoren negativ, also auch f(x), für alle x > 4 sind alle Faktoren positv, also auch f(x),
und für 1 < x < 4 ist nur (x-4) negativ, also auch f(x).
Ähnlich dann für den 2. Fall.
Gruß, Richard
|
|
|
|
