Ungleichung für Zufallsvariabl < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 23.08.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo Leute!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe: Wenn für zwei reelle Funktionen f und g die Ungleichung gilt, dass für alle rellen x: f(x)<g(x). Stimmt diese Ungleichung dann auch noch, wenn ich statt einem rellen (deterministischen) x eine Zufallsvariable X einsetze? Meine Intuition wäre: NEIN! Ist das richtig?
Wenn umgekehrt gilt: f(X)<g(X) für alle Zufallsvariablen, dann müsste doch auch f(x)<g(x) P-fast sicher für determ. x gelten!??
Hoffe auf euer Feedback!
Danke!
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 23.08.2010 | | Autor: | chris3 |
noch ein kleiner Einwurf:
In obigem Zusammenhang bin ich auf die Formulierung gestoßen, dass f(x)<g(x) [mm] P_X-fast [/mm] sicher. Kann mir das vielleicht noch jmd erklären??
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Hallo!
> noch ein kleiner Einwurf:
> In obigem Zusammenhang bin ich auf die Formulierung
> gestoßen, dass f(x)<g(x) [mm]P_X-fast[/mm] sicher. Kann mir das
> vielleicht noch jmd erklären??
Damit wir hier auf einer Basis reden, holen wir uns erstmal einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A},\IP). \IP [/mm] ist also das Wahrscheinlichkeitsmaß.
Deine obige Aussage mit dem [mm] \IP_{X} [/mm] f.s. macht nur Sinn, wenn wir von einer ganz speziellen Zufallsvariable [mm] X:\Omega\to\IR [/mm] reden. (Also nicht von "allen möglichen X" wie in der anderen Frage).
Wir haben jetzt also eine Zufallsvariable X vorgegeben, und für diese gilt $f(X) < g(X)$, d.h. [mm] $f(X(\omega)) [/mm] < [mm] g(X(\omega))$ [/mm] für alle [mm] \omega\in\Omega. [/mm]
Nun kann es ja sein, dass der Wertebereich von X aber gar nicht ganz [mm] \IR [/mm] ist. D.h. es gibt [mm] x\in\IR, [/mm] so dass es kein [mm] \omega\in\Omega [/mm] gibt mit [mm] X(\omega) [/mm] = x.
Für diese [mm] x\in\IR [/mm] gilt [mm] $\IP_{X}(x) [/mm] = [mm] \IP(X=x) [/mm] = [mm] \IP(\{w\in\Omega:X(\omega) = x\}) [/mm] = [mm] \IP(\emptyset) [/mm] = 0$.
Oder aber die Menge [mm] \{X=x\} [/mm] ist eine [mm] \IP- [/mm] Nullmenge [mm] (\IP(X=x) [/mm] = 0), d.h. es gibt zwar einige [mm] \omega\in\Omega, [/mm] für welche [mm] X(\omega) [/mm] = x ist, aber das sind so wenige, dass X den Wert x praktisch nicht annimmt. Dann kann man ebenfalls aus der Ungleichung [mm] $f(X(\omega)) [/mm] < [mm] g(X(\omega))$ [/mm] nicht sicher folgern, dass $f(x) < g(x)$ eben für dieses x gilt.
Und eben in diesen beiden Fällen gilt immer gerade [mm] $\IP_{X}(x) [/mm] = [mm] \IP(X=x)=0$.
[/mm]
Fazit: Man kann aus f(X) < g(X) nur f(x) < g(x) für ein [mm] x\in\IR [/mm] folgern, wenn [mm] $\IP_{X}(x) [/mm] = [mm] \IP(X=x) [/mm] > 0$ ist. Man sagt dann: Die Aussage gilt [mm] \IP_{X} [/mm] -fast sicher, d.h. immer wenn [mm] \IP_{X}(x) [/mm] > 0, können wir die Aussage f(x) < g(x) folgern.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Di 24.08.2010 | | Autor: | chris3 |
Hey!
Super, das hab ich verstanden!
Vielen Dank für deine Hilfe und die super Erklärungen!!!
Gruß, Chris
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Hallo!
> Hallo Leute!
> Ich brauche mal wieder eure Hilfe: Wenn für zwei reelle
> Funktionen f und g die Ungleichung gilt, dass für alle
> rellen x: f(x)<g(x). Stimmt diese Ungleichung dann auch
> noch, wenn ich statt einem rellen (deterministischen) x
> eine Zufallsvariable X einsetze? Meine Intuition wäre:
> NEIN! Ist das richtig?
Ich denke, das ist nicht richtig.
Ein (reellwertige) Zufallsvariable ist doch letztendlich auch nichts anderes als eine Funktion [mm] $X:\Omega \to \IR$. [/mm] D.h. die Werte von X liegen in [mm] \IR.
[/mm]
Wenn also $f(x) < g(x)$ für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] $f(X(\omega)) [/mm] < [mm] g(X(\omega))$ [/mm] für alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] , was nichts anderes bedeutet als $f(X) < g(X)$.
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Wenn die Voraussetzung für das zweite Problem wirklich f(X) < g(X) für alle Zufallsvariablen [mm] X:\Omega\to \IR$ [/mm] lautet, folgt daraus sofort f(x) < g(x) für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Denn: Du kannst ja einfach die konstanten Zufallsvariablen [mm] $X(\omega) [/mm] = x$ betrachten und bekommst so die Ungleichung für alle reellen Zahlen x.
Grüße,
Stefan
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