Ungleichung beweisen/Implikati < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:08 Do 22.10.2009 | | Autor: | Drechen |
| Aufgabe 1 | Zeige die folgende Ungleichung für alle reelen Zahlen x [mm] \ge [/mm] 0 und alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge [/mm] 2.
[mm] (1+x)^n [/mm] > [mm] \bruch{n^2}{4} \* [/mm] x² |
| Aufgabe 2 | Stelle fest, welche der folgenden Implikationen über reelle Zahlen x, a, b allgemeingültigt, bzw. im Allgemeinen falsch sind. Beweise die entsprechenden Aussagen oder widerlege sie durch Gegenbeispiele
(1) |x-a| < b [mm] \Rightarrow [/mm] x > a - 2b.
(2) ab > 1 und a < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] b>1.
(3) [mm] x(x-2a^2)>0 \Rightarrow |x-a^2| [/mm] > a² |
Hallo ihr Lieben!
Ich möchte natürlich nicht die Lösungen hier haben, sondern Ideen bzw. Tipps wie ich anfangen könnte.. dann setz ich mich selber dran und frage erneut nach, falls ich nicht weiterkomme 
Bin glaub ich vor lauter Analysis auf den Kopf gefallen, sodass mir momentan gar nicht einfällt, wie ich an die Aufgaben rangehen könnte.. über Hilfen und Tipps wäre ich wie gesagt dankbar.
Danke schonmal!
Lg
Andrea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Aufgabe 1 kannst Du induktiv erledigen.
Aufgabe 2:
(1) Es ist b >0 und aus |x-a| < b folgt -b<x-a, also a-b< x
(2) ist falsch. Wähle a <0 und b<0 geeignet.
(3) Wann ist ein Produkt > 0 Fallunterscheidung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 23.10.2009 | | Autor: | thegeni |
Hallo, ich kämpfe auch mit der Aufgabe 1.
Habe aber ein Problem die induktion richtig durchzuführen
ich fang einfach mal mit dem schritt an um mein problem zu zeigen
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1+x)^n(1+x)
[/mm]
->iV [mm] \ge \bruch{n^2}{4}*x^2*(1+x)
[/mm]
aber ich kriege das nicht auf [mm] \ge \bruch{(n+1)^2}{4}*x^2 [/mm] zurück geführt.
Danke im Voraus
Gruß Geni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 23.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich kämpfe auch mit der Aufgabe 1.
> Habe aber ein Problem die induktion richtig
> durchzuführen
>
> ich fang einfach mal mit dem schritt an um mein problem zu
> zeigen
>
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm] = [mm](1+x)^n(1+x)[/mm]
> ->iV [mm]\ge \bruch{n^2}{4}*x^2*(1+x)[/mm]
>
> aber ich kriege das nicht auf [mm]\ge \bruch{(n+1)^2}{4}*x^2[/mm]
> zurück geführt.
> Danke im Voraus
> Gruß Geni
Ich glaube ich habe Dich mit dem Vorschlag, diese Aufgabe induktiv zu erledigen, auf eine falsche Fährte gelockt.
Anderer Vorschlag: binomischer Satz. Nach diesem ist (mit x [mm] \ge [/mm] 0)
[mm] $(1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}x^i \ge \vektor{n \\ 2}x^2 \ge \bruch{n^2}{4}x^2$
[/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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