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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] (1-\frac{1}{n^2})*(1-\frac{2}{n^2})*...*(1-\frac{n}{n^2})\le e^{-\frac{1}{2}}, [/mm] n>0. |
Hi!
Das sollte eigentlich einfach zu lösen sein, aber irgendwie wollen meine Abschätzungen nicht wirklich klappen.
Ansetzen wollte ich mit [mm] $e^{-1}\ge (1-\frac{1}{n^2})^{n^2}$.
[/mm]
[mm] $e^{-1}\ge (1-\frac{1}{n^2})^{n^2} \ge (1-\frac{1}{n^2})^n*(1-\frac{2}{n^2})^n*...*(1-\frac{n}{n^2})^n
[/mm]
Aber wie weiter? Ersetze ich die n in den Exponenten durch 2, so würde die Ungleichung folgen, aber durch diese Ersetzung würde ich den Term ja wieder größer machen, zumindest für n>2.
Weiß da jemand weiter?
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Hallo Teufel,
es ist ja [mm] \left(1-\bruch{1}{2n}\right)^n
Wenn Du jetzt aus Deiner Faktorisierung immer je einen Faktor von vorn und einen von hinten nimmst, müsste doch dies zu zeigen sein:
[mm] \left(1-\bruch{a}{n^2}\right)\left(1-\bruch{n+1-a}{n^2}\right)\le\left(1-\bruch{1}{2n}\right)^2
[/mm]
Und dann wärst Du ja fertig. Für ungerade n müsstest Du wohl noch nicht einmal eine Sonderbetrachtung für [mm] a=\bruch{n+1}{2} [/mm] durchführen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank, so klappt das alles. Wäre ich wohl im Leben nicht drauf gekommen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Fr 21.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Vielen Dank, so klappt das alles.
Na, wunderbar. Das ist doch das Ziel.
> Wäre ich wohl im Leben
> nicht drauf gekommen. ;)
Ach, es ist eine Standardidee. Man muss sie nur schon mal gesehen haben.
Hast Du ja jetzt... 
Liebe Grüße
reverend
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