Ungleichung Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass folgende Ungleichung für alle [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] gilt:
xcos(x)<sin(x) |
Leider finde ich keinen Ansatz...
Um den Mittelwertsatz anwenden zu können muss ich die Ungleichung in zwei Funktionen umformen und dann in den MWS einsetzen:
a<b
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass folgende
> Ungleichung für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gilt:
>
> xcos(x)<sin(x)
> Leider finde ich keinen Ansatz...
> Um den Mittelwertsatz anwenden zu können muss ich die
> Ungleichung in zwei Funktionen umformen und dann in den MWS
> einsetzen:
> a<b
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\varepsilon[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 0 setze $f(x) = sin(x)-x cos(x)$
Ist x [mm] \in(0, \pi/2), [/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x mit
$f(x) = f(x)-f(0) = [mm] f'(\xi)*x$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?
> Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
>
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
Unverständlich ist mir der Schritt: [mm] f'(\xi)*x
[/mm]
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Hallo TUDarmstadt,
> Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine
> besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?
Letzteres, und zwar wie?
Schaue genauer hin, es ist nur 1 Schritt. ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
>
> > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
> >
> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>
> Unverständlich ist mir der Schritt: [mm]f'(\xi)*x[/mm]
Vergleiche nochmal scharf mit der dir bekannten Form, bedenke $x=x-0$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist diese Form des MWS nicht bekannt, ist es eine
> besondere Form des MWS oder hast du den MWS umgeformt?
Weder noch ! Eine gewisse Flexibilität bei Bezeichnungsweisen zahlt sich aus.
Siehst Du es, wenn ich Dir rate, b=x und a=0 zu setzen ?
FRED
>
> > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
> >
> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>
> Unverständlich ist mir der Schritt: [mm]f'(\xi)*x[/mm]
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Okay, mir ist nun klar wie ich auf die Formel:
[mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso setzen wir b=x statt [mm] b=\pi/2 [/mm] ?
> Weder noch ! Eine gewisse Flexibilität bei
> Bezeichnungsweisen zahlt sich aus.
>
> Siehst Du es, wenn ich Dir rate, b=x und a=0 zu setzen ?
> >
> > > Ist x [mm]\in(0, \pi/2),[/mm] so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
> > > [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x mit
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Hallo!
> Okay, mir ist nun klar wie ich auf die Formel:
>
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
>
> komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso
> setzen wir b=x statt [mm]b=\pi/2[/mm] ?
Damit es funktioniert - sieh mal - wir wollen mit Hilfe des Mittelwertsatzes eine Aussage für alle f(x) machen und nicht nur für [mm] f(\pi/2). [/mm] Deswegen macht man das mit einem allgemeinen [mm] x\in(0,\pi/2).
[/mm]
Übrigens weißt du nun auch nach dem Mittelwertsatz, dass [mm] \xi\in(0,\pi/2).
[/mm]
Das heißt:
Für jedes [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] kannst du ein [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] finden, so dass
[mm] $\sin(x)-x*\cos(x) [/mm] = f(x) = [mm] f'(\xi)*x$
[/mm]
ist. Überlege, was du zeigen willst! Wenn [mm] x*\cos(x) [/mm] < [mm] \sin(x) [/mm] gelten soll, müssen wir also zeigen, dass f(x) > 0 für alle [mm] x\in(0,\pi/2).
[/mm]
Wenn es dir jetzt also gelingt, zu zeigen, dass die rechte Seite $ [mm] f'(\xi)*x$ [/mm] obiger Gleichung für [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] größer als Null ist, bist du fertig.
Wichtig: Dafür solltest du auch f'(x) wirklich ausrechnen!
Grüße,
Stefan
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Das wir statt 0 und [mm] \pi/2 [/mm] in den MWS einzusetzen nun X einsetzen ist mir nun ersichtlich.
> > [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)*x[/mm]
> >
> > komme...aber nun bleibe ich wieder auf der Strecke, wieso
> > setzen wir b=x statt [mm]b=\pi/2[/mm] ?
Wir möchten beweisen, dass [mm]xcos(x)<sin(x)[mm] gilt, wir wandeln diese Ungleichung in eine Funktion und definieren:
[mm]f(x)>0[mm] - die Ungleichung stimmt
[mm][mm] f(x)\le0[/mm] [mm] - die Ungleichung ist falsch
Die Rechnung sieht dann aus wie folgt:
[mm]f(x)=sin(x)-xcos(x)[/mm]
[mm]f'(x)=cos(x)-(1*cos(x)-xsin(x))[/mm]
[mm]f'(\xi)*x=xsin(x)*x=x^2sin(x)[/mm]
Wie kann ich hier nun erkennen, dass die Funktion >0 ist?
> Überlege, was du zeigen willst! Wenn [mm]x*\cos(x)[/mm] <
> [mm]\sin(x)[/mm] gelten soll, müssen wir also zeigen, dass f(x) > 0
> für alle [mm]x\in(0,\pi/2).[/mm]
> Wenn es dir jetzt also gelingt, zu zeigen, dass die rechte
> Seite [mm]f'(\xi)*x[/mm] obiger Gleichung für [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> größer als Null ist, bist du fertig.
>
> Wichtig: Dafür solltest du auch f'(x) wirklich
> ausrechnen!
>
> Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Werte nimmt denn [mm] f'(\xi)*x [/mm] (das ist NICHT f'(x)*x))
im betrachteten Bereich an?
Gruss leduart
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Okay, soweit ich verstanden habe, ist [mm]f'(\xi)*x[/mm]:
$ f(x) = f(x)-f(0) = [mm] f'(\xi)\cdot{}x [/mm] $
Also [mm] $f'(\xi)\cdot{}x=sin(x)-xcos(x)-(sin(x)-0*cos(x)=-xcos(x)$
[/mm]
> Hallo
> Welche Werte nimmt denn [mm]f'(\xi)*x[/mm]
Stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, soweit ich verstanden habe, ist [mm]f'(\xi)*x[/mm]:
>
> [mm]f(x) = f(x)-f(0) = f'(\xi)\cdot{}x[/mm]
>
> Also
> [mm]f'(\xi)\cdot{}x=sin(x)-xcos(x)-(sin(x)-0*cos(x)=-xcos(x)[/mm]
>
> > Hallo
> > Welche Werte nimmt denn [mm]f'(\xi)*x[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "
Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung $f'$ zu bestimmen.
Wenn Du das geschafft hast mußt Du noch [mm] f'(\xi) [/mm] mit x multiplizieren.
Das muß doch machbar sein.
FRED
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> Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht
> : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "
Mein Studium liegt nun über 20 Jahre zurück.
Wenn man aus dem Stoff draußen ist, bleibt wenig in Erinnerung.
An Hessischen Gymnasien werden keine Ungleichungen mittels differentiation bewiesen;)
> Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du
> doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung
> [mm]f'[/mm] zu bestimmen.
Klar, kein Problem:
$ [mm] f'(x)=cos(x)-(1\cdot{}cos(x)-xsin(x)) [/mm] $
> Wenn Du das geschafft hast mußt Du noch [mm]f'(\xi)[/mm] mit x
> multiplizieren.
Was genau ist nun mein [mm]f'(\xi)[/mm], kann mir das jemand erklären?
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Hallo,
> > Ich kanns nicht glauben. Aber wenn es stimmt, dann mußt Du
> > doch in der Lage sein von obiger Funktion f die Ableitung
> > [mm]f'[/mm] zu bestimmen.
>
> Klar, kein Problem:
> [mm]f'(x)=cos(x)-(1\cdot{}cos(x)-xsin(x))[/mm]
Es geht doch 
Da kommt raus:
$f'(x) = [mm] x*\sin(x)$
[/mm]
(ohne Minus!).
> Was genau ist nun mein [mm]f'(\xi)[/mm], kann mir das jemand
> erklären?
Na, da setzt du jetzt einfach in f'(x) die Variable [mm] \xi [/mm] ein:
[mm] $f'(\xi) [/mm] = [mm] \xi*\sin(\xi)$.
[/mm]
[mm] \xi [/mm] ist dabei eben einfach irgendeine Zwischenstelle, [mm] \xi\in(0,x), [/mm] die du durch den Mittelwertsatz (siehe obere Posts) erhältst.
Wir wissen nun: Für alle [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] gibt es ein [mm] \xi\in(0,\pi/2), [/mm] sodass gilt:
[mm] $\sin(x) [/mm] - [mm] x*\cos(x) [/mm] = f(x) = [mm] f'(\xi)*x [/mm] = [mm] \xi*\sin(\xi)*x$
[/mm]
Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm] $\sin(x) [/mm] - [mm] x*\cos(x) [/mm] > 0$, denn dann folgt: [mm] $\sin(x) [/mm] > [mm] x*\cos(x)$.
[/mm]
Dazu reicht es also aus, wenn wir zeigen, dass [mm] $\xi*\sin(\xi)*x [/mm] > 0$, weil das oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.
Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm] \xi, [/mm] welche Werte kann demzufolge [mm] \sin(\xi) [/mm] annehmen, was gilt dann für das Produkt, ...
... und dann steht es da 
Grüße,
Stefan
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Zunächst herzlichen Dank für die präzise und ausführliche Erläuterung!
> Wir wissen nun: Für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gibt es ein
> [mm]\xi\in(0,\pi/2),[/mm] sodass gilt:
>
> [mm]\sin(x) - x*\cos(x) = f(x) = f'(\xi)*x = \xi*\sin(\xi)*x[/mm]
>
> Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm]\sin(x) - x*\cos(x) > 0[/mm],
> denn dann folgt: [mm]\sin(x) > x*\cos(x)[/mm].
> Dazu reicht es also
> aus, wenn wir zeigen, dass [mm]\xi*\sin(\xi)*x > 0[/mm], weil das
> oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.
>
> Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm]\xi,[/mm]
> welche Werte kann demzufolge [mm]\sin(\xi)[/mm] annehmen, was gilt
> dann für das Produkt, ...
Okay, da wir definiert haben, dass $ [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] $ bedeutet dies:
$ [mm] sin(\xi) [/mm] $ kann ausschließlich Werte zwischen 0 und 1 annehmen.
Hier offenbar sich nun ein Widerspruch, denn $ x $ als auch $ [mm] \xi [/mm] $ können den Wert $ 0 $ annehmen und sobald ein komponent den Wert $ 0 $ annimmt, ist das gesammte Produkt $ 0 $ wodurch sich die Ungleichung als falsch erweist - oder irre ich mich?
Denn definiert haben wir:
$ [mm] \xi\cdot{}\sin(\xi)\cdot{}x [/mm] > 0 $
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Hallo,
> > Wir wissen nun: Für alle [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm] gibt es ein
> > [mm]\xi\in(0,\pi/2),[/mm] sodass gilt:
> >
> > [mm]\sin(x) - x*\cos(x) = f(x) = f'(\xi)*x = \xi*\sin(\xi)*x[/mm]
>
> >
> > Nun nochmal: Wir wollen zeigen: [mm]\sin(x) - x*\cos(x) > 0[/mm],
> > denn dann folgt: [mm]\sin(x) > x*\cos(x)[/mm].
> > Dazu reicht es
> also
> > aus, wenn wir zeigen, dass [mm]\xi*\sin(\xi)*x > 0[/mm], weil das
> > oben ja alles mit Gleichheitszeichen verbunden ist.
> >
> > Nun schaue genau hin: Aus welchen Bereichen sind x und [mm]\xi,[/mm]
> > welche Werte kann demzufolge [mm]\sin(\xi)[/mm] annehmen, was gilt
> > dann für das Produkt, ...
>
> Okay, da wir definiert haben, dass [mm]\xi\in(0,\pi/2)[/mm] bedeutet
> dies:
> [mm]sin(\xi)[/mm] kann ausschließlich Werte zwischen 0 und 1
> annehmen.
Genau, wegen [mm] \xi\in(0,\pi/2) [/mm] ist [mm] \sin(\xi)\in(0,1).
[/mm]
> Hier offenbar sich nun ein Widerspruch, denn [mm]x[/mm] als auch [mm]\xi[/mm]
> können den Wert [mm]0[/mm] annehmen.
Nein! Wieso denn? Es gilt doch [mm] x,\xi\in(0,\pi/2), [/mm] und das offene Intervall [mm] (0,\pi/2) [/mm] ist definiert als:
[mm] $(0,\pi/2):=\{x\in\IR|0\red{<}x<\pi/2\}$.
[/mm]
Also gilt auch [mm] $x,\xi [/mm] > 0.$
Damit ist insgesamt das Produkt aus den drei Faktoren [mm] x,\xi [/mm] und [mm] \sin(\xi) [/mm] immer größer als 0, und die Behauptung ist gezeigt.
Grüße,
Stefan
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Alles ist mir verständlich, doch wann wurde definiert:
[mm]x,\xi > 0.[/mm]
Die aufgabenstellung lautet:
$ [mm] x\in(0,\pi/2) [/mm] $
Somit kann $ x $ den Wert $ 0 $ annehmen...
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Hallo,
> Alles ist mir verständlich, doch wann wurde definiert:
Das glaube ich nicht. Sonst würdest du diese Frage nicht stellen
> Die aufgabenstellung lautet:
>
> [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
>
> Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...
Eben nicht!
Ich hatte doch geschrieben: [mm] (0,\pi/2) [/mm] ist ein offenes Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im Intervall enthalten!
[mm] $(0,\pi/2) [/mm] := [mm] \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}$
[/mm]
Im Gegensatz dazu:
[mm] $[0,\pi/2] [/mm] := [mm] \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}$
[/mm]
Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.
Grüße,
Stefan
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Gezeigt werden soll die Ungleichung laut Aufgabenstellung für genau zwei Werte von $ x $ und zwar [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
Wieso können wir nun aber diese Ungleichung beweisen, ohne diese Werte für $ x $ einzusetzen. Welcher Beweis erlaubt es uns die Werte in ein offenes Intervall zu wandeln?
> > Die aufgabenstellung lautet:
> >
> > [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> >
> > Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...
>
> Eben nicht!
> Ich hatte doch geschrieben: [mm](0,\pi/2)[/mm] ist ein offenes
> Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im Intervall
> enthalten!
>
> [mm](0,\pi/2) := \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}[/mm]
>
> Im Gegensatz dazu:
>
> [mm][0,\pi/2] := \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}[/mm]
>
> Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.
>
> Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gezeigt werden soll die Ungleichung laut Aufgabenstellung
> für genau zwei Werte von [mm]x[/mm]
Was ist los ??
> und zwar [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
Ah, jetzt dämmerts mir ! Du verwechselst [mm](0,\pi/2)[/mm] mit [mm]\{0,\pi/2\}[/mm]
Obwohl es schon mehrfach gesagt wurde: die Ungleichung ist zu zeigen für x [mm] \in \IR [/mm] mit: $0<x< [mm] \ß\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
>
> Wieso können wir nun aber diese Ungleichung beweisen, ohne
> diese Werte für [mm]x[/mm] einzusetzen. Welcher Beweis erlaubt es
> uns die Werte in ein offenes Intervall zu wandeln?
Siehe oben
Tu mir noch einen Gefallen, und beantworte mir die Frage , die ich Dir hier
https://matheraum.de/read?i=650961
gestellt habe
FRED
>
>
> > > Die aufgabenstellung lautet:
> > >
> > > [mm]x\in(0,\pi/2)[/mm]
> > >
> > > Somit kann [mm]x[/mm] den Wert [mm]0[/mm] annehmen...
> >
> > Eben nicht!
> > Ich hatte doch geschrieben: [mm](0,\pi/2)[/mm] ist ein offenes
> > Intervall, d.h. die beiden Grenzen sind nicht im
> Intervall
> > enthalten!
> >
> > [mm](0,\pi/2) := \{x\in\IR| 0 \red{<} x < \pi/2\}[/mm]
> >
> > Im Gegensatz dazu:
> >
> > [mm][0,\pi/2] := \{x\in\IR| 0 \red{\le} x \le \pi/2\}[/mm]
> >
> > Dieses Intervall liegt hier aber nicht vor.
> >
> > Grüße,
> > Stefan
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > Ich kanns mir nicht verkneifen, aber in Deinem Profil steht
> > : "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II "
>
> Mein Studium liegt nun über 20 Jahre zurück.
> Wenn man aus dem Stoff draußen ist, bleibt wenig in
> Erinnerung.
> An Hessischen Gymnasien werden keine Ungleichungen mittels
> differentiation bewiesen;)
Das ist natürlich ein tolles Argument. Aber: auch an hessischen Gymnasien wird doch wohl folgender Sachverhalt behandelt:
Ist f eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion und gilt
f'(x) >0 für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I streng monoton wachsend.
Bitteschön, wie erklärst Du Deinen Schülern warum das so ist ??
FRED
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