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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:37 Do 19.08.2010 | | Autor: | deex |
Hallo,
mir ist heute folgende Frage aufgekommen.
Man nehme die Funktion [m]y = f(x) = x^x[/m]
Nun wollte ich wissen für welche [m] x , f(x)>0 [/m] ist
Die meiste einschlägige CAS-Software kommt mit dieser frage allerdings nicht klar und geben mir als Lösung [m] x>0[/m] aus
Ich habe mir so geholfen das ich mir die Funktion parametrisch geplottet habe. Also auf der x-Achse den Realteil von [m] x(t)=Real(t^t) [/m] und auf der y-Achse den Imaginärteil von [m] y(t)=Imag(t^t) [/m]. Es entsteht dabei ja eine Spirale auf der ich die Lösungen ja als Schnittpunkt mit der x-Achse ablesen kann. So zBsp. bei t=-1.
Jetzt wollte ich aber fragen ob mir jemand auch eine allgemeine Lösung formulieren könnte. Mir fällt dazu nämlich nicht viel mehr ein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Do 19.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> mir ist heute folgende Frage aufgekommen.
>
> Man nehme die Funktion [m]y = f(x) = x^x[/m]
> Nun wollte ich
> wissen für welche [m]x , f(x)>0[/m] ist
> Die meiste einschlägige CAS-Software kommt mit dieser
> frage allerdings nicht klar und geben mir als Lösung [m]x>0[/m]
> aus
nun, hast du dem CAS auch gesagt, dass du an komplexen Loesungen interessiert bist? Die naechste Frage ist natuerlich, ob die meisten CASe das ueberhaupt koennen. Ich tippe spontan auf nein.
> Ich habe mir so geholfen das ich mir die Funktion
> parametrisch geplottet habe. Also auf der x-Achse den
> Realteil von [m]x(t)=Real(t^t)[/m] und auf der y-Achse den
> Imaginärteil von [m]y(t)=Imag(t^t) [/m]. Es entsteht dabei ja
> eine Spirale auf der ich die Lösungen ja als Schnittpunkt
> mit der x-Achse ablesen kann. So zBsp. bei t=-1.
>
> Jetzt wollte ich aber fragen ob mir jemand auch eine
> allgemeine Lösung formulieren könnte. Mir fällt dazu
> nämlich nicht viel mehr ein
ich kann's mal versuchen.
Es ist ja [mm] $x^x [/mm] = [mm] \exp(x \log [/mm] x)$.
Erstmal: wo ist diese Funktion ueberhaupt definiert? Dazu muss [mm] $\log [/mm] x$ definiert sein -- das geht im Prinzip ueberall, ausser in 0, allerdings gibt es keine Wahl, so dass [mm] $\log$ [/mm] auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] stetig ist. Insofern macht es Sinn, diese Funktion erstmal nur auf den positiven reellen Zahlen zu definieren, oder auf irgendeiner Teilmenge von [mm] $\IC$, [/mm] die eine Kurve von 0 bis [mm] $\infty$ [/mm] nicht enthaelt.
Wenn man das Problem anschaut, muss man also den Zweig des Logarithmus mit beruecksichtigen (im Folgenden dient dafuer $k$).
Schreiben wir $x = r [mm] \exp(i [/mm] t) = r [mm] \cos [/mm] t + r i [mm] \sin [/mm] t$ mit $r > 0$ und $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$. [/mm] Dann ist [mm] $\log [/mm] x = [mm] \log [/mm] r + i t + 2 [mm] \pi [/mm] i k$ mit $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann ist also $x [mm] \log [/mm] x = (r [mm] \cos [/mm] t + r i [mm] \sin [/mm] t) [mm] (\log [/mm] r + i (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) i) = r [mm] \cos [/mm] t [mm] \log [/mm] r - r [mm] \sin [/mm] t (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) + i (r [mm] \cos [/mm] t (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) + r [mm] \sin [/mm] t [mm] \log [/mm] r)$, und [mm] $\exp(x \log [/mm] x) = [mm] \exp(r \cos [/mm] t [mm] \log [/mm] r - r [mm] \sin [/mm] t (t + 2 [mm] \pi [/mm] k)) [mm] \cdot \exp(i [/mm] (r [mm] \cos [/mm] t (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) + r [mm] \sin [/mm] t [mm] \log [/mm] r))$.
Damit dies eine positive reelle Zahl ist, muss $(r [mm] \cos [/mm] t (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) + r [mm] \sin [/mm] t [mm] \log [/mm] r) = 2 [mm] \pi \ell$ [/mm] sein fuer ein passendes [mm] $\ell \in \IZ$.
[/mm]
Diese Gleichung ist aequivalent zu $r [mm] (\cos [/mm] t [mm] \cdot [/mm] (t + 2 [mm] \pi [/mm] k) + [mm] \sin [/mm] t [mm] \cdot \log [/mm] r) = 2 [mm] \pi \ell$ [/mm] -- und alles andere als einfach zu loesen.
Schauen wir uns zuerst spezielle Werte fuer $t$ an. Etwa $t = n [mm] \pi$ [/mm] mit $n [mm] \in \{ 0, 1 \}$. [/mm] In diesen Faellen ist [mm] $\sin [/mm] t = 0$ und [mm] $\cos [/mm] t = [mm] (-1)^n$, [/mm] womit die Gleichung zu $r [mm] (-1)^n [/mm] (n [mm] \pi [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] k) = 2 [mm] \pi \ell$ [/mm] wird. Waehlt man den Hauptzweig des Logarithmus, also $k = 0$, so muss [mm] $\frac{n}{2} (-1)^n [/mm] r [mm] \in \IZ$ [/mm] sein -- was fuer $n = 0$ immer gilt, und fuer $n = 1$ fuer $r [mm] \in [/mm] 2 [mm] \IZ$.
[/mm]
Wir haben also neben den Loesungen $x > 0$ auch die Loesungen $x = (2 k) [mm] e^{-i t} [/mm] = -2 k$ fuer $k [mm] \in \IN_{>0}$.
[/mm]
Was ist nun mit $t = [mm] (\tfrac{1}{2} [/mm] + n) [mm] \pi$ [/mm] mit $n [mm] \in \{ 0, 1 \}$? [/mm] Dann ist [mm] $\sin [/mm] t = [mm] (-1)^n$ [/mm] und [mm] $\cos [/mm] t = 0$, womit wir die Gleichung [mm] $(-1)^n [/mm] r [mm] \log [/mm] r = 2 [mm] \pi \ell$ [/mm] bekommen. Hier haben wir schon gleich das Problem, dass man fuer jedes $n$ viele Loesungen bekommt, aber diese nicht angeben kann. (Das ist aequivalent dazu, die Gleichung [mm] $x^x [/mm] = a$ zu loesen mit $x [mm] \in \IR_{>0}$.)
[/mm]
Allgemeines $t$ macht das ganze nicht besser -- eher viel komplizierter. Ich denke nicht, dass man hier exakte Loesungen angeben kann.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 19.08.2010 | | Autor: | deex |
Hallo Felix,
vielen Dank für die Arbeit die du dir gemacht hast. Ich fand deine Erklärung auch bis auf eine Zeile super nachzuvollziehen.
> Wir haben also neben den Loesungen [mm]x > 0[/mm] auch die Loesungen
> [mm]x = (2 k) e^{-i t} = -2 k[/mm] fuer [mm]k \in \IN_{>0}[/mm].
Hier bin ich nicht ganz mitgekommen wie du darauf gekommen bist. Der Rest ist super.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 19.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Felix,
> vielen Dank für die Arbeit die du dir gemacht hast. Ich
> fand deine Erklärung auch bis auf eine Zeile super
> nachzuvollziehen.
>
> > Wir haben also neben den Loesungen [mm]x > 0[/mm] auch die Loesungen
> > [mm]x = (2 k) e^{-i t} = -2 k[/mm] fuer [mm]k \in \IN_{>0}[/mm].
>
> Hier bin ich nicht ganz mitgekommen wie du darauf gekommen
> bist. Der Rest ist super.
Fuer $t = 0$ ($n = 0$) und $r > 0$ hat man $x = r [mm] e^{i t} [/mm] = r [mm] e^0 [/mm] = r$. Also bekommt man alle Zahlen $x > 0$.
Fuer $t = [mm] \pi$ [/mm] ($n = 1$) und $r [mm] \in [/mm] 2 [mm] \IZ$ [/mm] (und gleichzeitig $r > 0$) bekommst du $x = r [mm] e^{\pi i} [/mm] = -r = -2 k$ mit $k [mm] \in \IN_{>0}$.
[/mm]
Ist es jetzt klarer?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Do 19.08.2010 | | Autor: | deex |
ja vielen dank
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