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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Ungleichung Induktionsbeweis
Ungleichung Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung Induktionsbeweis: Frage zu Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Sa 01.11.2008
Autor: martin2

Aufgabe
[mm] 2(n+1)n^{n}\le(n+1)^{n+1} [/mm]

für n-->n+1 halt

[mm] 2(n+2)(n+1)^{n+1}\le(n+2)^{n+2} [/mm]

Also der IA ist klar. für n=1 ergibt sich [mm] 24\le27 [/mm]

nun gehe ich (der tipp war binomialentwicklung) wie foglt vor.

[mm] 2(n+2)(n+1)^{n+1}=2(n+2)\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}1^{k} [/mm]

da [mm] 1^{k}=1 [/mm] für alle k folgt, wenn ich die 2 in die summe ziehe

[mm] =(n+2)\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}2 [/mm]

nun würde ich gerne sagen [mm] 2\le2^{k} [/mm] für k>0 aber der fall k=0 stört da..

jetzt ist klar dass der fall k=0 immer kompensiert wird durch den fall k=n oder k=n [mm] \wedge [/mm] k=n-1 oder k=n [mm] \wedge [/mm] k=n-1 [mm] \wedge [/mm] k=n-2 usw..
nur wie zeige, sage ich das?

wenn ich 2 durch [mm] 2^{k} [/mm] ersetzen könnte, würde ich nämlich das [mm] \le [/mm] Zeichen verwenden und die summe wieder als binom umformen, dann hätte ich

[mm] (n+2)(n+2)^{n+1} [/mm]

        
Bezug
Ungleichung Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Sa 01.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Martin,

du kannst die Induktion komplett umgehen, wenn du die Beh. äquivalent umformst und dann den Tipp anwendest:

[mm] $2(n+1)n^n\le(n+1)^{n+1}\gdw 2n^n\le (n+1)^n$ [/mm]

Dann einfach auf die rechte Seite den Tipp anwenden [mm] $(n+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}n^{n-k}=\blue{n^n+n\cdot{}n^{n-1}}+\underbrace{\vektor{n\\2}n^{n-2}+.....+\vektor{n\\n-1}n+1}_{> 0}>\blue{n^n+n\cdot{}n^{n-1}}=2n^n$ [/mm]



LG

schachuzipus



Bezug
                
Bezug
Ungleichung Induktionsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Sa 01.11.2008
Autor: martin2

danke für die fixe antwort :)

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