Ungleichung - Konvexe Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss folgendes beweisen:
Für [mm]0 \le \delta \le 1[/mm] und [mm]0 \le x < 1[/mm] gilt:
[mm]2 - \left( {1 + x} \right)^\delta - \left( {1 - x} \right)^\delta \le \;\left( {2 - 2^\delta } \right)x[/mm]
Zunächst zeige ich, dass im Fall [mm]\delta > 0[/mm], die Funktion [mm]f:\;\left[ {0,1} \right] \to \IR[/mm] mit
[mm]f\left( x \right)\;: = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{2 - \left( {1 + x} \right)^\delta - \left( {1 - x} \right)^\delta ,} \hfill & {falls\;x\; \ne \;1} \hfill \\ {2 - 2^\delta ,} \hfill & {falls\;x\; = \;1} \hfill \\
\end{array}} \right.[/mm]
konvex ([mm]f''(x) \ge 0[/mm]) ist.
Für [mm]\delta = 0[/mm] und [mm]\delta = 1[/mm] ist die Ungleichung immer erfüllt, da dann im einen Fall [mm]0 \le 0[/mm] und im anderen Fall [mm]0 \le {2 - 2^{\delta} }[/mm] gilt.
Dann wende ich die Jensensche Ungleichung auf f an:
[mm]f(x) = f\left( {\;\left( {1 - x} \right)\;0\; + \;x\;1} \right)\; \le \;\left( {1 - x} \right)\;f(0)\; + \;x\;f(1)\; = \;x\;f(1)\; = \;\left( {2 - 2^\delta } \right)x
[/mm]
Damit ist dann obige Ungleichung bewiesen.
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Danke schon mal für Eure Antworten.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Meiner Meinung nach ist das Vorgehen völlig korrekt.
(übrigens muss f''(x)>0, nur für 0<x<1 gezeigt werden).
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Di 04.01.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo moudi,
danke für deine Antwort.
Gruss
MathePower
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