Ungleichung? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Für welche reellen Werte von p ist
[mm] $\left(4 - p\right)x^2 [/mm] + [mm] \left(2p + 2\right)x-\left(7p+1\right)
[/mm]
für alle reellen x negativ? |
Hallo,
ich brauche hier mal einen Tipp. Irgendwie fällt mir bei den meisten Aufgaben nicht das rechnen an sich schwer, sondern erstmal zu verstehen "Was wollen die eigentlich von mir?"....
Meine erste Idee war eine Ungleichung mit <0 aufzustellen, diese dann umzustellen nach
$ [mm] x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}<0$
[/mm]
Nun kann ich ja eigentlich schon sehen, dass die Ungleich nur wahr ist, wenn $p [mm] \in (-\infty, [/mm] 4)$.
Kann das schon alles sein oder bin ich auf dem Holzweg?
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Hallo,
> Für welche reellen Werte von p ist
> [mm]$\left(4 - p\right)x^2[/mm] + [mm]\left(2p + 2\right)x-\left(7p+1\right)[/mm]
>
> für alle reellen x negativ?
> Meine erste Idee war eine Ungleichung mit <0 aufzustellen,
> diese dann umzustellen nach
> [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}<0[/mm]
> Nun kann ich ja eigentlich schon sehen, dass die Ungleichung
> nur wahr ist, wenn [mm]p \in (-\infty, 4)[/mm].
Wie siehst du das denn??? Ich sehe es nämlich nicht 
Nehmen wir mal an p =3, dann steht da: [mm] x^2 [/mm] + 8x- 22 <0 . Dass das für alle reellen Werte für x der Fall ist, glaubst du hoffentlich selbst nicht.
Tipp: Das Ganze hier ist offensichtlich eine quadratische Gleichung.
Ich würde also zunächst mal schauen, für welche x die Gleichung erfüllt ist : [mm] $\left(4 - p\right)x^2+ \left(2p + 2\right)x-\left(7p+1\right)=0
[/mm]
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> > [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}<0[/mm]
> > Nun kann ich ja eigentlich schon sehen, dass die
> Ungleichung
> > nur wahr ist, wenn [mm]p \in (-\infty, 4)[/mm].
>
> Wie siehst du das denn??? Ich sehe es nämlich nicht
Das war natürlich Blödsinn. Das ist nur der Fall, damit sich das Relationszeichen beim teilen durch (4-p) nicht "umdreht", weil (4-p) ja sonst negativ wäre.
> Nehmen wir mal an p =3, dann steht da: [mm]x^2[/mm] + 8x- 22 <0 .
> Dass das für alle reellen Werte für x der Fall ist,
> glaubst du hoffentlich selbst nicht.
>
> Tipp: Das Ganze hier ist offensichtlich eine quadratische
> Gleichung.
> Ich würde also zunächst mal schauen, für welche x die
> Gleichung erfüllt ist : [mm]$\left(4 - p\right)x^2+ \left(2p + 2\right)x-\left(7p+1\right)=0[/mm]
Also in die Form [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0[/mm] mit [mm] $p\not=4$ [/mm] und dann z.B. pq-Formel?
> Viele Grüße
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> Also in die Form [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0[/mm]
> mit [mm]p\not=4[/mm] und dann z.B. pq-Formel?
Genau, und vorher würd ich eben noch begründen, dass p nicht 4 sein kann 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
> > Also in die Form [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0[/mm]
> > mit [mm]p\not=4[/mm] und dann z.B. pq-Formel?
>
> Genau, und vorher würd ich eben noch begründen, dass p
> nicht 4 sein kann
>
Okay, ich bin jetzt so weit:
[mm] $x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0$
[/mm]
[mm] x_{1,2}= -\bruch{p+1}{4-p}\pm \wurzel{\left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher: Die x werden negativ wenn der Wurzelausdruck negativ, 0, oder kleiner [mm] \bruch{p+1}{4-p} [/mm] ist.
Ist der Gedanke richtig und wenn ja, wie gehts weiter? :) Nur den Wurzelausdruck in eine Ungleichung mit 0 einsetzen?
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Hallo jayw,
vorab: was weißt Du über Parabeln?
> > > Also in die Form [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0[/mm]
> > > mit [mm]p\not=4[/mm] und dann z.B. pq-Formel?
> >
> > Genau, und vorher würd ich eben noch begründen, dass p
> > nicht 4 sein kann
> >
> Okay, ich bin jetzt so weit:
> [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}=0[/mm]
> [mm]x_{1,2}= -\bruch{p+1}{4-p}\pm \wurzel{\left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}}[/mm]
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher: Die x werden negativ wenn
> der Wurzelausdruck negativ, 0, oder kleiner
> [mm]\bruch{p+1}{4-p}[/mm] ist.
> Ist der Gedanke richtig und wenn ja, wie gehts weiter? :)
Es ist doch vollkommen unerheblich, wann x negativ wird. Das will doch keiner wissen.
Die Frage ist, wie p zu bestimmen ist, damit die beschriebene Parabel komplett unterhalb der x-Achse verläuft.
Dazu darf es einerseits keine Lösungen der quadratischen Gleichung geben - denn sonst gibt es ja Nullstellen, eine oder zwei.
Und das reicht.
Eins kann ich Dir aber schon verraten: $4-p<0$.
> Nur den Wurzelausdruck in eine Ungleichung mit 0 einsetzen?
Nein.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 06.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Für welche reellen Werte von p ist
> [mm]\left(4 - p\right)x^2[/mm] + [mm]\left(2p + 2\right)x-\left(7p+1\right)[/mm]
Hallo,
wenn man die Funktion
[mm] $f(x)=(4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1)$ [/mm] betrachtet, so ist dies für [mm] $p\ne [/mm] 4$ eine quadratische Funktion, deren Graph ein nach unten oder oben geöffnete Parabel ist.
Wäre sie nach oben geöffnet, hätte sie auch positive Werte. Also ist sie nach unten geöffnet. Das geht aber nur, wenn $4-p$ negativ ist.
Selbst dann gäbe es aber im Bereich zwischen den Nullstellen noch positive Werte.
Es ist also p so zu wählen, dass
4-p<0 gilt UND f(x) keine Nullstellen hat.
Gruß Abakus
>
> für alle reellen x negativ?
> Hallo,
> ich brauche hier mal einen Tipp. Irgendwie fällt mir bei
> den meisten Aufgaben nicht das rechnen an sich schwer,
> sondern erstmal zu verstehen "Was wollen die eigentlich von
> mir?"....
> Meine erste Idee war eine Ungleichung mit <0 aufzustellen,
> diese dann umzustellen nach
> [mm]x^2+\bruch{2p+2}{4-p}x-\bruch{7p+1}{4-p}<0[/mm]
> Nun kann ich ja eigentlich schon sehen, dass die Ungleich
> nur wahr ist, wenn [mm]p \in (-\infty, 4)[/mm].
> Kann das schon
> alles sein oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
> wenn man die Funktion
> [mm]f(x)=(4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1)[/mm] betrachtet, so ist dies für
> [mm]p\ne 4[/mm] eine quadratische Funktion, deren Graph ein nach
> unten oder oben geöffnete Parabel ist.
> Wäre sie nach oben geöffnet, hätte sie auch positive
> Werte. Also ist sie nach unten geöffnet. Das geht aber
> nur, wenn [mm]4-p[/mm] negativ ist.
> Selbst dann gäbe es aber im Bereich zwischen den
> Nullstellen noch positive Werte.
> Es ist also p so zu wählen, dass
> 4-p<0 gilt UND f(x) keine Nullstellen hat.
> Gruß Abakus
Super, danke!
Das bedeutet: für alle p>4, denn:
Man hat keine Nullstellen, solange 7p+1>0 ist, daraus folgt [mm] p>-\bruch{1}{7}, [/mm] was ja mit p>4 schon ausgeschlossen ist.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 07.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo,
> > wenn man die Funktion
> > [mm]f(x)=(4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1)[/mm] betrachtet, so ist dies
> für
> > [mm]p\ne 4[/mm] eine quadratische Funktion, deren Graph ein nach
> > unten oder oben geöffnete Parabel ist.
> > Wäre sie nach oben geöffnet, hätte sie auch positive
> > Werte. Also ist sie nach unten geöffnet. Das geht aber
> > nur, wenn [mm]4-p[/mm] negativ ist.
> > Selbst dann gäbe es aber im Bereich zwischen den
> > Nullstellen noch positive Werte.
> > Es ist also p so zu wählen, dass
> > 4-p<0 gilt UND f(x) keine Nullstellen hat.
> > Gruß Abakus
>
> Super, danke!
> Das bedeutet: für alle p>4,
Da 4-p<0 gelten muss, gilt in der Tat p>4.
> denn:
> Man hat keine Nullstellen, solange 7p+1>0 ist, daraus
> folgt [mm]p>-\bruch{1}{7},[/mm] was ja mit p>4 schon ausgeschlossen
> ist.
> Richtig?
Wie kommst du darauf?
Du hattest
$ [mm] x_{1,2}= -\bruch{p+1}{4-p}\pm \wurzel{\left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}} [/mm] $
Schauen wir uns die Diskriminante an, es soll gelten
[mm] \left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}<0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\bruch{(p+1)^2}{(4-p)^{2}}+\bruch{(7p+1)(4-p)}{(4-p)(4-p)}<0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\bruch{(p+1)^2+(7p+1)(4-p)}{(4-p)^{2}}<0
[/mm]
Du kannst gefahlos mit dem Nenner multiplizieren, warum, überlege mal selber, also bekommst du, ohne eine Fallunterscheidung zu machen.
[mm] (p+1)^2+(7p+1)(4-p)<0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow p^{2}+2p+1+28p+4-7p^{2}-p<0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -6p^{2}+29p+5<0
[/mm]
Betrachte also diese Ungleichung nochmal.
Evtl hilft es, [mm] -6p^{2}+29p+5 [/mm] in Linearfaktoren zu zerlegen oder in die Scheitelpunktform zu verwandeln.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
> > Man hat keine Nullstellen, solange 7p+1>0 ist, daraus
> > folgt [mm]p>-\bruch{1}{7},[/mm] was ja mit p>4 schon
> ausgeschlossen
> > ist.
> > Richtig?
>
> Wie kommst du darauf?
[mm]f(x)=(4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1)[/mm]
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$
[/mm]
Ist es nicht so: bei negativen a und c hat die Parabel nur neg. y-Werte und keine Nullstellen?
> Du hattest
> [mm]x_{1,2}= -\bruch{p+1}{4-p}\pm \wurzel{\left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}}[/mm]
>
> Schauen wir uns die Diskriminante an, es soll gelten
>
> [mm]\left(\bruch{p+1}{4-p}\right)^2+\bruch{7p+1}{4-p}<0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\bruch{(p+1)^2}{(4-p)^{2}}+\bruch{(7p+1)(4-p)}{(4-p)(4-p)}<0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow\bruch{(p+1)^2+(7p+1)(4-p)}{(4-p)^{2}}<0[/mm]
Warum < 0 und nicht >0? bei einer neg. Diskriminante bekomme ich doch keine reelle Zahl?
> Du kannst gefahlos mit dem Nenner multiplizieren, warum,
> überlege mal selber, also bekommst du, ohne eine
> Fallunterscheidung zu machen.
Klar, der Nenner wird ja niemals negativ.
> [mm](p+1)^2+(7p+1)(4-p)<0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow p^{2}+2p+1+28p+4-7p^{2}-p<0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow -6p^{2}+29p+5<0[/mm]
>
> Betrachte also diese Ungleichung nochmal.
> Evtl hilft es, [mm]-6p^{2}+29p+5[/mm] in Linearfaktoren zu zerlegen
> oder in die Scheitelpunktform zu verwandeln.
Scheitelform: [mm] -6\left(p-\bruch{29}{12}\right)^2+\bruch{961}{24}
[/mm]
Was bringt mir denn diese Form wenn ich nur die Diskriminante betrachte?
Das ist jetzt eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei -1/6 und 5.
Danke für deine Hilfe!
>
> Marius
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Hallo, die nach unten geöffnete Parabel soll keine Nullstelle besitzen, somit darf dein quadratische Gleichung KEINE Lösung haben, die Diskriminante muß demzufolge kleiner als Null sein, (als Ergänzung für dich, wäre die Diskriminante gleich Null gibt es eine Lösung, wäre die Diskriminante größer als Null, gibt es zwei Lösungen) Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo, die nach unten geöffnete Parabel soll keine
> Nullstelle besitzen, somit darf dein quadratische Gleichung
> KEINE Lösung haben, die Diskriminante muß demzufolge
> kleiner als Null sein, (als Ergänzung für dich, wäre die
> Diskriminante gleich Null gibt es eine Lösung, wäre die
> Diskriminante größer als Null, gibt es zwei Lösungen)
> Steffi
Oh Mann. Na klar, danke dir. Hoffe jetzt habe ich es:
Das dürfte dann der Fall sein für alle p aus [mm] $\left(-\infty, -\bruch{1}{6}\right]$ [/mm] und $[5, [mm] \infty)$
[/mm]
?
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Hallo,
das sieht doch gut aus, bedenke aber noch die Bedingung: p>4,
aus p>4 und dass f(x) keine Nullstelle besitzt folgt somit p>5
Steffi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:09 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
>
> das sieht doch gut aus, bedenke aber noch die Bedingung:
> p>4,
>
> aus p>4 und dass f(x) keine Nullstelle besitzt folgt somit
> p>5
>
> Steffi
Stimmt, es müssen offene Intervalle sein:
p aus [mm] $\left(-\infty, -\bruch{1}{6}\right)$ [/mm] und $(5, [mm] \infty)$ [/mm] und p>4, damit
alle p aus (5, [mm] \infty).
[/mm]
Schau dir bitte nochmal den Lösungsweg anbei an.
danke dir!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
warum steht da "beantwortet von leduart", aber ich sehe keine antwort?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 10.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 06.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
ist das nicht ziemlich genau das, was ich 16min vorher auch geschrieben habe?
lg
rev
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