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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 28.11.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo!!
Sitze gerade an der Aufgabe und brauche Eure Hilfe.
Ich muss beweisen, dass für alle [mm] a_1,a_2>0 [/mm] gilt:
[mm] log(\bruch{a_1+a_2}{2})\ge\bruch{log(a_1)+log(a_2)}{2}.
[/mm]
Es gilt:
[mm] \bruch{a_1+a_2}{2}\ge\wurzel{a_1a_2}. [/mm] Und f(x)=log(x) ist konvex, dann kann man Jensensche Ungleichung anwenden.
Meine Frage ist: Kann man die Ungleichung beweisen, ohne dass die Jensensche Ungleichung als bekannt vorausgesetzt ist?
Auf den Beweis komme ich irgendwie nicht.
Freue mich auf Eure Antwort!!
Vielen Dank im Voraus
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!!
> Sitze gerade an der Aufgabe und brauche Eure Hilfe.
> Ich muss beweisen, dass für alle [mm]a_1,a_2>0[/mm] gilt:
> [mm]log(\bruch{a_1+a_2}{2})\ge\bruch{log(a_1)+log(a_2)}{2}.[/mm]
> Es gilt:
> [mm]\bruch{a_1+a_2}{2}\ge\wurzel{a_1a_2}.[/mm] Und f(x)=log(x) ist
> konvex, dann kann man Jensensche Ungleichung anwenden.
> Meine Frage ist: Kann man die Ungleichung beweisen, ohne
> dass die Jensensche Ungleichung als bekannt vorausgesetzt
> ist?
> Auf den Beweis komme ich irgendwie nicht.
> Freue mich auf Eure Antwort!!
> Vielen Dank im Voraus
> Gruß
Diese Ungl.
[mm] \bruch{a_1+a_2}{2}\ge\wurzel{a_1a_2}
[/mm]
Ist äquivalent zu [mm] (\wurzel{a_1}+\wurzel{a_2})^2 \ge [/mm] 0 !!!
Nun logarithmiere mal die Ungl.
$ [mm] \bruch{a_1+a_2}{2}\ge\wurzel{a_1a_2} [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 28.11.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo,Fred!!
Ach na klar!!
Hab riesen Dank!!
Gruß
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