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Forum "Zahlentheorie" - Ungleichung
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Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:11 Di 27.10.2009
Autor: wauwau

Aufgabe
Sei $ 2<a < [mm] b_1 Unter welchen Bedingungen von $k, [mm] b_i, [/mm] a $gilt:
[mm] $a\prod_{i=1}^{k}(b_i-1) [/mm] < [mm] (a-1)\prod_{i=1}^{k}b_i$ [/mm]

Schaut einfach aus ist es aber nicht...

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Di 27.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei [mm]20[/mm] natürliche Zahlen
>  Unter welchen Bedingungen von [mm]k, b_i, a [/mm]gilt:
>  
> [mm]a\prod_{i=1}^{k}(b_i-1) < (a-1)\prod_{i=1}^{k}b_i[/mm]
>  Schaut
> einfach aus ist es aber nicht...

Fuer $k = 1$ gilt $a [mm] (b_1 [/mm] - 1) = a [mm] b_1 [/mm] - a > a [mm] b_1 [/mm] - [mm] b_1 [/mm] = (a - 1) [mm] b_1$. [/mm] Damit ist die Aussage fuer $k = 1$ falsch.

Fuer $k > 1$ ist die Aussage sehr wohl erfuellbar. Gilt fuer $k = 2$ etwa [mm] $b_2 [/mm] < 2 a$, so gilt die Aussage. Und sobald die Aussage fuer ein $k$ und $a, [mm] b_1, \dots, b_k$ [/mm] gilt, so kann man $k$ beliebig vergroessern und es gilt immer noch. Somit sind $k > 1$ und [mm] $b_2 [/mm] < 2 a$ hinreichend.

Aber ich vermute, du willst lieber eine "genau dann wenn"-Charakterisierung?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Mi 28.10.2009
Autor: wauwau

Aufgabe
Wie kommst du drauf dass [mm] $b_2 [/mm] < 2a$ reicht??

anscheinend stehe ich auf der Leiter....

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Mi 28.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Wie kommst du drauf dass [mm]b_2 < 2a[/mm] reicht??
>  anscheinend stehe ich auf der Leiter....

Mal gucken ob ich noch auf die Reihe bekomme was ich mir gestern abend gedacht hab. Ich hab den Fall $n = 3$ angeschaut, dann hat man ja die Ungleichung $a [mm] b_1 b_2 [/mm] - a [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] + a = a [mm] (b_1 [/mm] - 1) [mm] (b_2 [/mm] - 1) < (a - 1) [mm] b_1 b_2 [/mm] = a [mm] b_1 b_2 [/mm] - [mm] b_1 b_2$; [/mm] sie ist also aequivalent zu $a (1 - [mm] b_1 [/mm] - [mm] b_2) [/mm] < - [mm] b_1 b_2$ [/mm] und somit zu $a > [mm] \frac{b_1 b_2}{b_1 + b_2 - 1}$. [/mm] Da nun [mm] $b_2 [/mm] > [mm] b_1$ [/mm] gilt, ist [mm] $b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] - 1 > 2 [mm] b_2 [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 2 [mm] b_2$ [/mm] (da ganze Zahlen) und somit [mm] $\frac{b_1 b_2}{b_1 + b_2 - 1} \le \frac{b_1 b_2}{2 b_2} [/mm] = [mm] \frac{b_1}{2}$. [/mm] Gilt also $a > [mm] \frac{b_1}{2}$, [/mm] so folgt die Ungleichung fuer $n = 2$ (und somit auch die Ungleichung fuer $n [mm] \ge [/mm] 2$).

LG Felix


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Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 28.10.2009
Autor: wauwau

habs schon gecheckt...

Bezug
        
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Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Mi 28.10.2009
Autor: reverend

Hallo wauwau,

passt Dir etwas an den Antworten von Felix nicht, oder warum stellst Du die Frage wieder auf unbeantwortet? Das wirkt unangenehm, ja sogar unhöflich.

Hast Du neue Nachfragen? Dann stell sie doch bitte als neue Frage weiter unten im Diskussionsgang.

Und falls es ein Versehen war - jetzt ist die Frage ja wieder grün. :-)

lg
reverend

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Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:29 Mi 28.10.2009
Autor: felixf

Hallo Reverend,

die Frage ist noch nicht fertig beantwortet, deswegen sollte sie nicht auf Beantwortet stehen. Ob man sie nun auf "Nicht beantwortet" oder "Teilweise beantwortet" stellt ist Geschmackssache, da meine Antwort zwar ein hinreichendes Kriterium enthaelt, welches aber (wahrscheinlich) nicht notwendig ist und somit die eigentliche Frage nicht wirklich geklaert ist.

LG Felix


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Bezug
Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 29.10.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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