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| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen a,b gilt die Ungleichung?
[mm] \bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) \left( b+\bruch{1}{a} \right) }\le\bruch{1}{4} [/mm] |
Also, ich habe zuerst damit angefangen die Ungleichung umzustellen, da ich ja konkrete Werte für a,b herausbekommen soll:
[mm] \bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) \left( b+\bruch{1}{a} \right) } \le\bruch{1}{4} |\times \left( a+\bruch{1}{b} \right) [/mm] [mm] \left( b+\bruch{1}{a} \right)
[/mm]
[mm] 1\ge\bruch{1}{4} \times \left( a+\bruch{1}{b} \right) [/mm] [mm] \left( b+\bruch{1}{a} \right)
[/mm]
An der Stelle weiß ich jetzt nicht weiter, ich habe zwei Variablen und die rechte Seit muss kleiner sein als 1. Wie mache ich weiter?
Wenn ich das ganze ausmultipliziere käme ich auf:
1> [mm] \bruch{1}{4} \times \left( ab+2+\bruch{1}{ab} \right) [/mm]
Das Problem ist, dass die Aufgabe dadurch nicht wirklich vereinfacht wurde, mit ab kann ich nicht wirklich was anfangen. Wie kann ich eine Variable loswerden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
Bei Deiner Umformung übersiehst Du, dass Du bei der Multiplikation mit dem Nenner eigentlich eine Fallunterscheidung machen musst (wegen evtl. Umdrehen des Ungleichheitszeichens).
Gehen wie wie folgt vor ...
1. Schritt: Der Bruch auf der linken Seite wird mit $a*b_$ erweitert:
[mm] $$\bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) *\left( b+\bruch{1}{a} \right) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) *b*a*\left( b+\bruch{1}{a} \right) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{( ab+1) *( ab+1) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{( ab+1 )^2 } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$
[/mm]
2. Schritt: Nun kann man die Gleichung gefahrlos mit [mm] $4*(ab+1)^2$ [/mm] multiplizieren, da dies immer positiv ist:
$$4*ab \ [mm] \le [/mm] \ [mm] (ab+1)^2$$
[/mm]
3. Schritt: Klammer auf der rechten Seite ausmultiplizieren und anschließend $4*ab_$ nach rechts bringen. Dann ergibt sich wiederum eine binomische Formel.
Gruß
Loddar
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[mm] 4ab\le (ab+1)^{2}
[/mm]
[mm] 4ab\le ab^{2}+2ab+1
[/mm]
-4ab
[mm] 0\le ab^{2}+2ab+1-4ab
[/mm]
[mm] 0\le ab^{2}-2ab+1 [/mm]
dritte binomische Formel
[mm] 0\le(ab-1)(ab+1)
[/mm]
Die Ungleichung gilt für alle positiven reellen Zahlen einschließlich der 0.
Ich hoffe das stimmt so, und vielen vielen Dank für die Hilfe
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Jetzt seh ich es auch.
[mm] 0\le(ab-1)^{2}
[/mm]
Heißt die Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt es ... ausgeschlossen sind lediglich $a \ = \ 0$ , $b \ = \ 0$ sowie $a*b \ = \ -1$ , da diese Werte nicht im Definitionsbereich der Ausgangsungleichung mit dem Doppelbruch enthalten sind.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Do 01.01.2009 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank für die geduldige Hilfe ;)
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Nein, das ist eindeutig die 2. binomische Formel, welche man hier anwenden kann.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
siehe oben!
