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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:56 Do 14.08.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Hallo ich habe eine dringende Frage zu folgender Gleichung
[mm] \wurzel{x+3}=x
[/mm]
ich soll das ganze ohne Taschenrechner berechnen.
Zunächst sieht man ja, dass die Gleichung auf dem Intervall [mm] [-3,+\infty[ [/mm] definiert
als nächstes hätte ich dann mittels umformen und anwenden der p.q. Formel die Lösungen ermittelt [mm] x^2-x-3=0
[/mm]
mit der p.q. Formel komme ich auf die Lösung [mm] x_{1,2}=\bruch{1 \pm \wurzel{13}}{2}
[/mm]
Woher soll ich denn jetzt ohne Hilfe des Taschenrechners ermitteln, was jetzt meine lösung ist ich kann ja jetzt keines der beiden lösungen ausschließen, da ja keines von beiden [mm] \le [/mm] -3 ist. Woher weiß ich also was Lösung ist???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Warum soll denn eine der Lösungen keine Lösung sein? Es gibt hier halt zwei Lösungen der Gleichung.
Gruß
Loddar
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naja ich soll ja die Gleichung [mm] \wurzel{x+3}=x [/mm] lösen. Die Aufgabe soll zum Thema Ungleichungen gehören.
Das heißt ja im Prinzip, dass ich am Ende ein x finden muss, damit [mm] \wurzel{x+3}=x [/mm] ist.
Wenn ich jetzt doch einen Taschenrechner benutze, was ich ja eigentlich nicht darf, dann erkennt man aber, dass nur [mm] \bruch{1+\wurzel{13}}{2} [/mm] lösung ist, denn [mm] \wurzel{(\bruch{1+\wurzel{13}}{2})+3} [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{13}}{2} [/mm] aber [mm] \wurzel{(\bruch{1-\wurzel{13}}{2})+3} \not= \bruch{1-\wurzel{13}}{2}
[/mm]
Aber wie kann ich das auch ohne Taschenrechner erkennen???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
Du hast die Lösung selbst genannt.
Betrachte dir doch einfach mal den Term [mm] \bruch{1-\wurzel{13}}{2}, [/mm] dabei fällt dir doch auf, dass der Term negativ ist.
Wie kann die linke Seite der Gleichung negativ werden?
Wegen der Wurzel garnicht, also kann nur [mm] \bruch{1+\wurzel{13}}{2} [/mm] die Lösung sein
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Gut. Ich hätte nur gedacht, man kann sich das auch mittles äquivalenzumformung oder ählichem erklären.
statt dem Gleichheitszeichen könnte ja nun auch ein Ungleichheitszeichen stehen, was die Sache dann ein bischen Schwieriger macht.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
Und genau das ist der Punkt:
"Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung und Bedarf immer einer Probe"
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naja aber in einer Lösungsskizze steht unter anderem, dass [mm] \wurzel{x+3}=x [/mm] auf dem Intervall [mm] [-3,\infty[\cap[0,\infty[=[0,\infty[ [/mm] äquivalent zu [mm] x+3=x^2 [/mm] ist und aus diesem Intervall [mm] [0,\infty[ [/mm] wird dann am Ende gefolgert, dass sich [mm] \bruch{1-\wurzel{13}}{2} [/mm] ja außerhalb des Intervalls befindet und somit nur [mm] \bruch{1+\wurzel{13}}{2} [/mm] Lösung sein kann.
Auf sone Idee wäre ich nie gekommen =)
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
> naja aber in einer Lösungsskizze steht unter anderem, dass
> [mm]\wurzel{x+3}=x[/mm] auf dem Intervall
> [mm][-3,\infty[\cap[0,\infty[=[0,\infty[[/mm] äquivalent zu [mm]x+3=x^2[/mm]
> ist und aus diesem Intervall [mm][0,\infty[[/mm] wird dann am Ende
> gefolgert, dass sich [mm]\bruch{1-\wurzel{13}}{2}[/mm] ja außerhalb
> des Intervalls befindet und somit nur
> [mm]\bruch{1+\wurzel{13}}{2}[/mm] Lösung sein kann.
Wenn ich das richtig verstehe, schneidet ihr den Definitionsbereich der Wurzel, mit dem Wertebereich, weil die Wurzel nur positiv sein kann, muss zwangsläufig die rechte Seite positiv sein.
Ist doch der gleiche Gedankengang, nur formeller.
Oder aber ich hab die Lösungsskizze falsch interpretiert?!
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