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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Cutie |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{4}{x-1} [/mm] < [mm] \bruch{4x}{|x+2|} [/mm] |
Weiß leider nicht wie ich die Aufgabe lösen soll.
Habe 3.Fallunterscheidungen: 1) x<-2
2) -2 < x < 1
3) x > 1
Nach den fallunterscheidungen weiß ich nicht mehr weiter. Wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen würde. Ich bedabke mich schon mal im Voraus.
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Hallo!
> [mm]\bruch{4}{x-1}[/mm] < [mm]\bruch{4x}{|x+2|}[/mm]
> Weiß leider nicht wie ich die Aufgabe lösen soll.
> Habe 3.Fallunterscheidungen:
>1) x<-2
>2) -2 < x < 1
>3) x > 1
Die sind okay, nützen dir aber so losgelöst natürlich nichts. Du solltest immer versuchen, bei solchen Umformungen einen "Weg" vor Augen zu haben, bei welchem du die Fallunterscheidungen dann einbindest.
Ohne Einschränkungen können wie hier auf jeden Fall durch 4 teilen:
[mm]\bruch{4}{x-1} < \bruch{4x}{|x+2|}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{x-1} < \bruch{1x}{|x+2|}[/mm]
Wir beginnen also folgendermaßen:
1. Fallunterscheidung: Sei [mm]x\ge -2[/mm].
[mm]\bruch{1}{x-1} < \bruch{x}{|x+2|}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{x-1} < \bruch{x}{x+2}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{x+2}{x-1} < x[/mm]
2. Fallunterscheidung: Sei [mm]x-1 > 0 \gdw x > 1[/mm] (Das schließt x [mm] \ge [/mm] -2 schon ein):
[mm]\gdw \bruch{x+2}{x-1} < x[/mm]
[mm]\gdw x+2 < x*(x-1)[/mm]
[mm]\gdw x+2 < x^{2}-x[/mm]
[mm]\gdw 0 < x^{2}-2x-2[/mm]
... Für welche x gilt das? Sind die im Intervall [mm] (1,\infty [/mm] ) ???
Wenn du Lösungen innerhalb des Intervalls erhältst, gehören sie zur Lösungsmenge!
2. Fallunterscheidung (teil2): Sei [mm]x-1 < 0 \gdw x < 1[/mm] Insgesamt mit der ersten Fallunterscheidung also: Sei [mm]-2 < x < 1[/mm].
[mm]\gdw \bruch{x+2}{x-1} < x[/mm]
[mm]\gdw x+2 > x*(x-1)[/mm]
[mm]\gdw x+2 > x^{2}-x[/mm]
[mm]\gdw 0 > x^{2}-2x-2[/mm]
... Für welche x gilt das? Sind die im Intervall (-2,1 ) ???
Wenn du Lösungen innerhalb des Intervalls erhältst, gehören sie zur Lösungsmenge!
1. Fallunterscheidung: Sei [mm]x < -2[/mm].
... Probier selbst!
PS.: Eine Ungleichung der Form [mm]0 < x^{2}-2x-2[/mm] kannst du lösen, indem du z.B. die beiden Nullstellen [mm] x_{1},x_{2} [/mm] der quadr. Funktion ausfindig machst. Da es eine nach oben geöffnete Parabel ist (vor [mm] x^{2} [/mm] steht pos. Koeffizient 1), sind dann Werte im Intervall [mm] (-\infty,x_{1}) [/mm] bzw. [mm] (x_{2},\infty) [/mm] Lösungen der Ungleichung.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Cutie |
| Aufgabe | | Danke für die deine schnelle Antwort. Aber ich verstehe nicht was für eine Lösung bei der 1. Fallunterscheidung rauskommt und wie man es löst. Wenn mir auch erjklärt wird wäre ich so dankbar. Bedanke mich Voraus. |
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Hallo!
Du hast zu berechnen, für welche x
[mm]0 < x^{2} - 2x - 2 [/mm]
Mit pq-Formel erhält man die beiden Lösungen für [mm]0 = x^{2} - 2x - 2[/mm]:
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \sqrt{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 1 + [mm] \sqrt{3}
[/mm]
D.h., wenn wir uns die Funktion ansehen, dass der Bereich
[mm] (-\infty, [/mm] 1 - [mm] \sqrt{3} [/mm] )
bzw. der Bereich
(1 + [mm] \sqrt{3},\infty [/mm] )
als Lösung der Ungleichung in Frage kommen. Anschaulich suchen wir ja die folgenden Bereiche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Denn in diesen ist die Funktion [mm] x^{2} [/mm] - 2x - 2 über der x-Achse, d.h. größer 0, d.h. in diesen Bereichen ist die Ungleichung [mm]0 < x^{2} - 2x - 2 [/mm] erfüllt. Und wir haben nun die beiden "Grenzen", nämlich die Nullstellen, dieser Bereich ausgemacht.
Wegen unserer Fallunterscheidungen kommt aber nur der zweite Bereich in Frage, da wir ja vorher x sozusagen als "größer 1" definiert haben.
Also ergibt die erste Fallunterscheidung die Lösungsmenge (1 + [mm] \sqrt{3},\infty). [/mm]
Nun probier es mit Fallunterscheidung 2 (Teil2)!
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 08.08.2008 | | Autor: | kappen |
Ich schreibe hier rein, weil ich gerne wissen würde, ob meine Ergebnisse stimmen - ich versuche gerade Ungleichungen zu verstehen ;)
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Fälle anwenden bzw deuten muss..insbesondere in dem Fall, wo
x-1<0 und |x+2|<0 ist. Muss ich in der Rechnung danach das Relationszeichen 2 Mal umdrehen?! Beim einmaligen umkehren kommt [mm] x^2<-2 [/mm] raus, eindeutig falsch.
Es ist doch richtig, dass wenn der Betrag kleiner Null ist, der gesamte Betragsterm mit -1 multipliziert wird. Muss dann das Relationszeichen schon gedreht werden? Ich weiß, dass es gedreht werden muss, wenn der andere Term (x-1) kleiner als Null ist.
Was kommt denn raus als Lösung? [mm] x>1+\wurzel{3} [/mm] und [mm] -2<=x<1-\wurzel{3} [/mm] ? Bin mir insbesondere bei der 2. sehr unsicher..
Ich hoffe, irgendwer nimmt sich mir nochmal an und versucht mir die Geschichte etwas besser zu verklickern..
Gruß & Danke,
kappen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> Ich schreibe hier rein, weil ich gerne wissen würde, ob
> meine Ergebnisse stimmen - ich versuche gerade
> Ungleichungen zu verstehen ;)
Ich gehe davon aus, dass es sich hierbei um dieselbe Ungleichung wie im ersten Posting handelt.
> Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Fälle anwenden
> bzw deuten muss..insbesondere in dem Fall, wo
> x-1<0 und |x+2|<0 ist.
Orientiere Dich am besten an meiner Mitteilung. Da dürften die Fallunterscheidungen auf logischen Wege erklärt sein. Anschließend siehe Dir den ausführlichen Lösungsweg von Steppenhahn an. Die Nullstellen, die er dort bestimmt, sind gerade die Schnittpunkte in meiner Mitteilung. An diesen Stellen ändert sich die Gültigkeit der Ungleichung.
> Muss ich in der Rechnung danach das
> Relationszeichen 2 Mal umdrehen?!
Ich weiß gerade nicht von welcher Stelle Du sprichst. Von $x-1<0$ zu $x<1$ gelangst Du, indem Du beide Seiten mit 1 addierst. Und [mm] $\vert{x+2}\vert<0$ [/mm] finde ich nirgendwo und es mach auch gar keinen Sinn. Denn die Rechenregeln des absolut Betrages besagen [mm] $\vert{x}\vert\geqslant [/mm] 0$ für jedes $x$ und somit insbesondere für $x+2$. Kurz: [mm] $\vert{x+2}\vert<0$ [/mm] ist schlichtweg falsch.
> Beim einmaligen umkehren
> kommt [mm]x^2<-2[/mm] raus, eindeutig falsch.
Das stimmt. Du gerätst so in den komplexen Zahlenbereich. Ich verstehe aber auch nicht wie Du das erhälst. Falls Du im Zusammenhang mit dieser Aufgabe an [mm] $x^2<-2$ [/mm] glaubst, dann schreib mir mal bitte den von Dir getätigten Rechenweg auf.
> Es ist doch richtig, dass wenn der Betrag kleiner Null ist,
Der Betrag ist immer größer oder gleich 0. Das ist eine Eigenschaft des Betrags. Ohne diese Eigenschaft wäre es schlichtweg kein Betrag!
> der gesamte Betragsterm mit -1 multipliziert wird. Muss
> dann das Relationszeichen schon gedreht werden? Ich weiß,
> dass es gedreht werden muss, wenn der andere Term (x-1)
> kleiner als Null ist.
Ich kann es zwar nicht ganz nachvollziehen, was Du gemacht hast. Aber vielleicht spricht Du die Stelle einmal konkret an, die Dir Schwierigkeiten bereitet.
> Was kommt denn raus als Lösung? [mm]x>1+\wurzel{3}[/mm] und
> [mm]-2<=x<1-\wurzel{3}[/mm] ? Bin mir insbesondere bei der 2. sehr
> unsicher..
> Ich hoffe, irgendwer nimmt sich mir nochmal an und versucht
> mir die Geschichte etwas besser zu verklickern..
Ich finde es ist doch super erklärt. Die Asympthen kannst Du direkt ablesen. Daher machst Du dort Fallunterscheidungen. Und die Nullstellen, die Steppenhahn berechnet sind gerade die Schnittpunkte. Wie ich sehe, sind diese gerade bei [mm] $x=1+\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $x=1-\sqrt{3}$.
[/mm]
Also konkrete Fragen bitte.
> Gruß & Danke,
> kappen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 11.08.2008 | | Autor: | kappen |
Danke für die Antwort!
> Ich weiß gerade nicht von welcher Stelle Du sprichst. Von
> [mm]x-1<0[/mm] zu [mm]x<1[/mm] gelangst Du, indem Du beide Seiten mit 1
> addierst. Und [mm]\vert{x+2}\vert<0[/mm] finde ich nirgendwo und es
> mach auch gar keinen Sinn. Denn die Rechenregeln des
> absolut Betrages besagen [mm]\vert{x}\vert\geqslant 0[/mm] für jedes
> [mm]x[/mm] und somit insbesondere für [mm]x+2[/mm]. Kurz: [mm]\vert{x+2}\vert<0[/mm]
> ist schlichtweg falsch.
Ich ging davon aus, dass ich eine Fallunterscheidung machen muss, wie man sie auch bei "normalen" Betragsgleichungen macht?! Z.B: https://matheraum.de/read?t=433092
> schreib mir mal bitte den von Dir getätigten Rechenweg
> auf.
>
Mach ich wenn ich zuhause bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kappen!
Du musst bei der Fallunterscheidung die Betragsstriche weglassen, damit es stimmt ...
$$(1) \ \ x+2 \ > \ 0$$
$$(2) \ \ x+2 \ < \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, ein weitere Kommentar:
Ich hoffe, dass es Euch beiden mittlerweile klar ist, dass die Ungleichung nicht für alle [mm] $x\in]-\infty,\inft[$ [/mm] gilt! Habt ihr Euch die Graphen schon einmal angesehen? Beide besitzen jeweis eine Asympthote und haben 2 gemeinsame Schnittpunkte. Die Fallunterscheidungen sind generell an den folgenden Stellen vorzunehmen:
1. an allen Asympthoten, d.h. dort wo der Nenner 0 wird (hier: $x=-2$ und $x=1$) und mindestens eine der beiden Seiten (Funktionen) nicht definiert ist.
2. an allen Schnittpunkten der beiden Seite (Funktionen) (einer SP1 liegt zwischen $-1$ und $0$ und ein weiterer SP2 zwischen $2$ und $3$).
Damit erhält man 5 Fallunterscheidungen
[mm] $]-\infty,-2[$, [/mm] $]-2,SP1[$, $]SP1,1[$, $]1,SP2[$ und [mm] $]SP2,\infty[$
[/mm]
Die Ungleichung gilt offenbar nur in den Intervallen [mm] $x\in]SP1,-1[$ [/mm] und [mm] $]SP2,\infty[$. [/mm] Die Schnittpunkte erhält man durch Gleichsetzen der beiden Funktionen und anschließendem Auflösen nach $x$. Dabei müsst ihr (um den Betrag wegzubekommen) [mm] $x\geqslant [/mm] -2$ und $x<-2$ unterscheiden, denn
falls [mm] $x\geqslant [/mm] -2$ so gilt [mm] $\vert{x+2}\vert=x+2$
[/mm]
falls $x<-2$ so gilt [mm] $\vert{x+2}\vert=-(x+2)$
[/mm]
Damit ist es auf jeden Fall möglich nach $x$ aufzulösen.
Fazit: Am besten ist es, wenn ihr Euch die Graphen anseht, um die Fallunterscheidungen nachvollziehen zu können.
Gruß
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