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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Di 04.12.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Für welche [mm] z\varepsilonC [/mm] gilt:
[mm] a.)|\bruch{z+i}{z-i}|\le1
[/mm]
[mm] b.)Re|\bruch{1+z}{1-z}|\ge0
[/mm]
Tip:z=x+iy einsetzen und eine möglichst einfache Ungleichung für x,y ableiten.
Fertigen Sie auch eine Skize der entsprechenden Mengen an. |
Hallo!
Bin mir nicht ischer, wie diese Aufgaben zu lösen sind.
a.)habe erstmal mit dem Betrag von z-i multipliziert und dann z=x+iy eingesetzt. Dabei fällt x dann weg und ich komme am Ende auf [mm] y\le0
[/mm]
Das heißt die Ungleichung gilt für alle [mm] y\le0.
[/mm]
Wie komme ich aber nun darauf, für welche z die Ungleichung erfüllt ist?
b.)Da habe ich mit Betrag 1-z multipliziert und komme dann auf [mm] |z|\ge-1
[/mm]
Damit wäre die Gleichung erfüllt, für z aus C mit [mm] z\ge-1 [/mm] und [mm] z\not=1
[/mm]
Ist das soweit richtig? und wie soll ich dazu Skizzen machen?
Vielen Dank für eure Mühe!
Gruß ONeill
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Hallo ONeill,
> Für welche [mm]z\varepsilonC[/mm] gilt:
> [mm]a.)|\bruch{z+i}{z-i}|\le1[/mm]
> [mm]b.)Re|\bruch{1+z}{1-z}|\ge0[/mm]
> Tip:z=x+iy einsetzen und eine möglichst einfache
> Ungleichung für x,y ableiten.
> Fertigen Sie auch eine Skize der entsprechenden Mengen
> an.
> Hallo!
> Bin mir nicht ischer, wie diese Aufgaben zu lösen sind.
> a.)habe erstmal mit dem Betrag von z-i multipliziert und
> dann z=x+iy eingesetzt. Dabei fällt x dann weg und ich
> komme am Ende auf [mm]y\le0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das heißt die Ungleichung gilt für alle [mm]y\le0.[/mm]
> Wie komme ich aber nun darauf, für welche z die
> Ungleichung erfüllt ist?
Nun, das sind alle $z=x+iy$ mit [mm] $y\le [/mm] 0$, also alle komplexen Zahlen, die einen negativen Imaginärteil (bzw. Imaginärteil 0) haben.
Das ist wohl die Halbebene unterhalb der x-Achse (einschließlich der x-Achse)
> b.)Da habe ich mit Betrag 1-z multipliziert und komme dann
> auf [mm]|z|\ge-1[/mm]
> Damit wäre die Gleichung erfüllt, für z aus C mit [mm]z\ge-1[/mm]
> und [mm]z\not=1[/mm]
M.E. ergibt Aufgabe (b) recht wenig Sinn, der Betrag einer komplexen Zahl $w=a+bi$, also $|w|$ ist doch immer reell und definiert als [mm] $\sqrt{a^2+b^2}$, [/mm] ist also stets positiv bzw. [mm] $=0\gdw [/mm] a=b=0$, also $w=0$
Also erfüllen alle komplexen Zahlen $z$, für die der Bruch [mm] $\frac{1+z}{1-z}$ [/mm] definiert ist, also alle [mm] $z\in\IC\setminus\{1\}$ [/mm] die Ungleichung
Meine Vermutung: Da steht [mm] $Re\left(\frac{1+z}{1-z}\right)\ge [/mm] 0$
Das wäre eher im Sinne einer Aufgabenstellung  , zumal ein schönes geometrisches Gebilde dabei herauskommt.
Falls ich mit meiner Vermutung recht haben sollte, benutze den Tipp und setze $z=x+iy$ ein und erweitere dann den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners....
> Ist das soweit richtig? und wie soll ich dazu Skizzen
> machen?
> Vielen Dank für eure Mühe!
> Gruß ONeill
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Sa 08.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo schachuzipus !
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß ONeill
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