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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Archimed |
| Aufgabe | Seien [mm] a_1,.........,a_n [/mm] n beliebige positive Zahlen. Zeige:
[mm] \frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i}[/mm] [mm] \le [/mm] [mm] \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm] |
Nach der Umformung sieht es dann so aus...
[mm] n^2[/mm] [mm]\le [/mm] [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}
[/mm]
Von der Vollständigen Induktion ist hier nicht die Rede und ich weiß echt nicht wie ich weiter machen soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch beim Ausmultipl, der Summe Glieder ai/ai=1 und [mm] ai/aj+aj/ai\ge2
[/mm]
ich glaub damit muss es hinkommen. oder doch mit Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Archimed |
| Aufgabe | Aufgabe
Seien [mm] a_1,.........,a_n [/mm] n beliebige positive Zahlen. Zeige:
[mm] \frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i} \le \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm] |
Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?
[mm] \frac{a_i}{a_i} [/mm] darf ich nicht kürzen, oder etwa doch?
Und wenn ich die Vollständige Induktion benutze, wie macht man das mit 2 Summen?
Ich hab kein analoges Beispiel bis jetzt gesehen :-(
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> Aufgabe
> Seien [mm]a_1,.........,a_n[/mm] n beliebige positive Zahlen.
> Zeige:
>
> [mm]\frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i} \le \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}[/mm]
> Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?
> [mm]\frac{a_i}{a_i}[/mm] darf ich nicht kürzen, oder etwa doch?
> Und wenn ich die Vollständige Induktion benutze, wie macht
> man das mit 2 Summen?
> Ich hab kein analoges Beispiel bis jetzt gesehen :-(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würde das mit vollständiger Induktion lösen.
Zu zeigen ist also
$ [mm] n^2 [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm] $.
Den Induktionsanfang bekommst Du hin.
Im Induktionsschluß mußt Du ja zeigen, daß
[mm] (n+1)^2 \le \summe_{i=1}^{n+1} a_i\summe_{i=1}^{n+1} \frac{1}{a_i} [/mm] für alle n gilt.
Fang so an:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_i\summe_{i=1}^{n+1} \frac{1}{a_i}
[/mm]
[mm] =(a_{n+1} +(\summe_{i=1}^{n} a_i))*( \frac{1}{a_{n+1}}+(\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}))
[/mm]
Nun kannst Du wie gewohnt ausmultiplizieren, Du erhältst 4 Summanden. (Nicht die Summen hinter den Summenzeichen auseinanderpflücken!).
Jetzt kannst Du dann bereits die Induktionsvoraussetzung verwenden.
Die verbleibenden Klammern fasse zusammen zu einer, und dann verwende leduarts Tip [mm] ai/aj+aj/ai\ge2. [/mm] (Das mußt Du eventuell noch zeigen: pos. Zahl + [mm] Kehrwert\ge [/mm] 2)
> Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?
Das dürftest Du schon tun, wenn Du wolltest, denn die Summen sind ja endlich, also völlig unproblematisch - man muß es allerdings richtig machen, man hat ja zwei Summen zu multiplizieren, so, wie bei [mm] (a+b+c)(\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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