Ungl.beweis mit Axiomen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Do 21.10.2004 | | Autor: | renguard |
Was sagt ihr dazu ?? Ist das so OK???
Aufgabe: Zeigen sie:
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] mit -1<x<y gilt [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] < [mm] \bruch{y}{1+y}
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] < [mm] \bruch{y}{1+y} [/mm]
= x (1+y) < y (1+x)
= x+xy <y+xy Monotonie bezüglich Adition
[mm] \Rightarrow [/mm] x<y
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> Aufgabe: Zeigen sie:
>
> Für x,y [mm]\in \IR[/mm] mit -1<x<y gilt [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] <
> [mm]\bruch{y}{1+y}
[/mm]
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{1+y}[/mm]
>
> = x (1+y) < y (1+x)
Hier müßte statt des Gleichheitszeichens ein [mm] $\Leftarrow$ [/mm] hin, siehe unten.
Und da es hier ja darum geht, den Gebrauch der Voraussetzungen zu lernen, fehlt hier der Hinweis, dass die Multiplikation mit (1+y) und (1+x) unbedenklich ist, da (1+y)>0 und (1+x)>0 wegen -1<x<y.
> = x+xy <y+xy Monotonie bezüglich Adition
Hier auch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] statt =.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x<y
Das ist nun eine Folgerung in genau die falsche Richtung.
Du mußt ja (u.a) aus x<y folgern, dass [mm]\bruch{x}{1+x}< \bruch{y}{1+y}[/mm] gilt.
Ich schreibe nochmal alles auf:
x<y (Voraussetzung)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] x+xy<y+xy (Monotonie bezüglich Addition)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] x(1+y)<y(1+x) | [mm] $*\bruch{1}{1+y}$ [/mm] und [mm] $*\bruch{1}{1+x}$ [/mm] (beide Faktoren sind positiv wegen x>-1 und y>-1)
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{x}{1+x}<\bruch{y}{1+y}$ $\Box$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Fr 22.10.2004 | | Autor: | renguard |
Danke für deine hilfe
Ich glaub ich muss mir das noch mal in ruhe anschauen.
Mfg
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