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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:18 Mo 30.11.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Eine Menge M ist genau dann unendlich, wenn es eine Injektion von [mm] \IN [/mm] nach M gibt.
Zur Erinnerung: Eine Menge ist unendlich, wenn [mm] card(M)\not=card(p) [/mm] für alle [mm] p\in\IN. [/mm] |
Irgendwie stört mich die zu Grunde legende Definition von Unendlichkeit ein wenig.
Ich versuch mich erstmal an der Hinrichtung:
"=>"
Sei [mm] card(M)=\infty
[/mm]
Setze [mm] M:=\{x_{i} | i,j\in\IN:x_{i}\not=x_{j}; j\not=i\} [/mm]
wobei ich mich frage ob ich eine unendliche Menge so definieren darf, da ja Abzählbarkeit vorrausgesetzt wird. Vielleicht ist es besser eine neue Menge zu brachten, M vereinigt mit einer beliebigen Menge, wobei das Bild der folgenden Abbildung allerdings nur M wäre.
Definiere
[mm] \phi:\IN \to [/mm] M
[mm] n\mapsto x_{n}
[/mm]
Diese Abbildung ist offensichtlich injektiv.
"<="
Sei nun f injektiv.
=> Es existieren m in M mit für alle n in N ist [mm] f(n)\not=m [/mm] oder für alle n in N existiert genau ein m in M mit f(n)=m.
Ersteres => [mm] card(M)>=card(\IN) [/mm] => [mm] card(M)=\infty
[/mm]
Zweiteres => f bijektiv => [mm] card(M)=card(\IN)=\infty
[/mm]
Ich bin mir wirklich unsicher dabei. Darf ich einfach annehmen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist? Oder muss ich auch zeigen, dass [mm] \IN [/mm] zu keinem ihrer Elemente gleichmächtig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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