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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kickerle |
Hallo,
kann mir jemand ein Beispiel für ein unbedingt konvergentes Unendliches Produkt nennen?
Ich bin gerade über diesen Begriff gestolpert und mir fällt kein ordentliches Beispiel ein.
Desweiteren wäre es nett wenn mir jemand ein konvergentes unendliches Produkt nennen würde das nicht unbedingt konvergiert.
Vielen Dank.
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> Hallo,
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> kann mir jemand ein Beispiel für ein unbedingt konvergentes
> Unendliches Produkt nennen?
> Ich bin gerade über diesen Begriff gestolpert und mir
> fällt kein ordentliches Beispiel ein.
> Desweiteren wäre es nett wenn mir jemand ein konvergentes
> unendliches Produkt nennen würde das nicht unbedingt
> konvergiert.
Ein unendliches Produkt [mm] $\prod_{n=1}^\infty z_n [/mm] = [mm] \prod_{n=1}^\infty (1+w_n)$ [/mm] ist absolut konvergent (definitionsgemäss) genau dann, wenn seine sogenannte "Kernreihe" [mm] $\sum_{n=1}^\infty w_n$ [/mm] absolut konvergiert. Man kann zeigen, dass gilt: Ein absolut konvergentes unendliches Produkt mit nicht-verschwindenden Faktoren konvergiert gegen einen (von Null verschiedenen) Grenzwert.
Durch geeignete Wahl der [mm] $w_n$ [/mm] kannst Du Dir also ein solches absolut konvergentes unendliches Produkt selbst zusammenbasteln. Nimmst Du etwa die für $|w|<1$ absolut konvergente Reihe [mm] $\ln(1+w)=w-\frac{w^2}{2}+\frac{w^3}{3}\mp\ldots$ [/mm] so kannst Du auf die absolute Konvergenz des zu dieser absolut konvergenten Kernreihe gehörigen Produktes schliessen.
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