Unendlicher Kettenbruch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme den Wert des folgenden unendlichen Kettenbruches
[math]
1 + \frac{2 + \frac{4 + \frac{8 + \cdots }{12+ \cdots}}{6 + \frac{12 + \cdots}{ 18 + \cdots}}}{3 + \frac{6 + \frac{12 + \cdots}{18 + \cdots}}{9 + \frac{18 + \cdots}{ 27 + \cdots}}}
[/math] |
Ich habe keine Idee, was der Wert sein könnte oder wie ich es beweisen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 19.08.2015 | | Autor: | abakus |
> Bestimme den Wert des folgenden unendlichen Kettenbruches
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> [math]
> 1 + \frac{2 + \frac{4 + \frac{8 + \cdots }{12+ \cdots}}{6 + \frac{12 + \cdots}{ 18 + \cdots}}}{3 + \frac{6 + \frac{12 + \cdots}{18 + \cdots}}{9 + \frac{18 + \cdots}{ 27 + \cdots}}}
> [/math]
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> Ich habe keine Idee, was der Wert sein könnte
Ich auch nicht. Aber wenn ich die Aufgabe lösen müsste, würde ich jetzt anfangen zu arbeiten.
Naheliegend ist die Aufstellung einer Folge von endlichen Kettenbrüchen, die eine immer bessere Annäherung an den tatsächlichen Wert geben.
Wir steigen Schritt für Schritt eine Bruchebene tiefer.
Der erste Wert ist 1.
Der zweite Wert ist [mm]1+ \frac{2}{3}= \frac{5}{3}[/mm].
Der dritte Wert ist [mm]1+ \frac{2+ \frac{4}{6}}{3+ \frac{6}{9}}= \frac{19}{11}[/mm]
Der vierte Wert ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe) [mm] $\frac{134}{107}$. [/mm] Jetzt ein Bildungsgesetz suchen und es induktiv beweisen.
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> Der vierte Wert ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
> [mm]\frac{134}{107}[/mm].
Der Vierte Wert ist [mm] $\frac{1853}{1070}$. [/mm] Ich vermute daher, dass es [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] sein könnte.
> Jetzt ein Bildungsgesetz suchen
Irgendwelche Tipps? Für ein Bildungsgesetz fehlt mir jeglicher Hinweis. Es wird wahrscheinlich in etwa so aussehen [mm] $a_{n} [/mm] = n + [mm] \frac{a_{2n}}{a_{3n}}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 19.08.2015 | | Autor: | abakus |
> > Der vierte Wert ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
> > [mm]\frac{134}{107}[/mm].
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> Der Vierte Wert ist [mm]\frac{1853}{1070}[/mm]. Ich vermute daher,
> dass es [mm]\sqrt{3}[/mm] sein könnte.
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> > Jetzt ein Bildungsgesetz suchen
>
> Irgendwelche Tipps? Für ein Bildungsgesetz fehlt mir
> jeglicher Hinweis. Es wird wahrscheinlich in etwa so
> aussehen [mm]a_{n} = n + \frac{a_{2n}}{a_{3n}}[/mm]
Eine ganz blöde Idee:
Wenn tatsächlich
[mm] 1 + \frac{2 + \frac{4 + \frac{8 + \cdots }{12+ \cdots}}{6 + \frac{12 + \cdots}{ 18 + \cdots}}}{3 + \frac{6 + \frac{12 + \cdots}{18 + \cdots}}{9 + \frac{18 + \cdots}{ 27 + \cdots}}} =\sqrt3 [/mm] gilt,
dann wäre [mm] \frac{2 + \frac{4 + \frac{8 + \cdots }{12+ \cdots}}{6 + \frac{12 + \cdots}{ 18 + \cdots}}}{3 + \frac{6 + \frac{12 + \cdots}{18 + \cdots}}{9 + \frac{18 + \cdots}{ 27 + \cdots}}} =\sqrt3 -1[/mm]
und
[mm] 2 + \frac{2 + \frac{4 + \frac{8 + \cdots }{12+ \cdots}}{6 + \frac{12 + \cdots}{ 18 + \cdots}}}{3 + \frac{6 + \frac{12 + \cdots}{18 + \cdots}}{9 + \frac{18 + \cdots}{ 27 + \cdots}}} =\sqrt3 +1 [/mm]
Das Produkt dieser beiden Terme müsste 3-1=2 ergeben.
Jetzt weiß ich auch nicht weiter...
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