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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Sa 20.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $a [mm] \in \IR$. [/mm]
a) Es soll gezeigt werden, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $a [mm] \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$. [/mm]
b)Es soll gezeigt werden, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ [/mm] ist. |
Hallo,
also
a) benutze ich Bernoulli:
[mm] $a=(1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx
[mm] a=(1+x)^{n} \Rightarrow x=(a^{\frac{1}{n}}-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow a=(1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$
[/mm]
b)
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sqrt[n]{a}=1+x
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1+x)^{n}=a \ge [/mm] 1+nx
[mm] \Rightarrow \frac{a-1}{n} \ge [/mm] x
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n}\ge [/mm] x = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1+0 [/mm] =0
Ist das so in Ordnung, auch was die Pfeile betrifft?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]a \in \IR[/mm].
> a) Es soll gezeigt werden, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt [mm]a \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm].
> b)Es soll gezeigt werden, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1[/mm] ist.
>
> Hallo,
>
> also
In dem was du schreibst steht zwar alles, was du brauchst, um die Aufgabe zu loesen, aber es ist voellig falsch aufgeschrieben.
> a) benutze ich Bernoulli:
>
> [mm]$a=(1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx
> [mm]a=(1+x)^{n} \Rightarrow x=(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a=(1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$[/mm]
So schreibt man das ganz sicher nicht auf. Fang an mit $x = [mm] a^{1/n} [/mm] - 1$ und wende dann Bernoulli an (und bedenke, dass du begruenden musst, warum du Bernoulli anwenden kannst!).
> b)
> [mm]$\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1[/mm]
Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit anfangen!
> [mm]\Rightarrow \sqrt[n]{a}=1+x[/mm]
Vorsicht, $x$ haengt von $n$ ab.
> [mm]\Rightarrow (1+x)^{n}=a \ge[/mm] 1+nx
Wenn schon solltest du $a = (1 + [mm] x)^n \ge [/mm] 1 + n x$ schreiben. Schliesslich willst du ja zeigen, dass $a [mm] \ge [/mm] 1 + n x$ ist, und es nicht benutzen.
> [mm]\Rightarrow \frac{a-1}{n} \ge[/mm] x
Auch hier: $x$ haengt von $n$ ab.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n}\ge[/mm]
> x = 0
Und das ist damit falsch.
Du kannst allerdings damit sagen, dass falls [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert, [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n \le [/mm] 0$ gilt.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1+0[/mm]
> =0
Also $1 + 0$ ist immer noch $1$. Und das willst du auch zeigen.
Aus der Argumentation oben bekommst du [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} \le [/mm] 1$.
Falls [mm] $x_n \ge [/mm] 0$ ist fuer alle $n$, folgt dass der Grenzwert gleich 1 ist. Wann kannst du [mm] $x_n \ge [/mm] 0$ garantieren?
Was ist mit den anderen Faellen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Fang an mit $ x = [mm] a^{1/n} [/mm] - 1 $ und wende dann Bernoulli an (und bedenke, > dass du begruenden > musst, warum du Bernoulli anwenden kannst!).
[mm] $x=a^{\frac{1}{n}}-1 \Rightarrow (1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] n(a^{\frac{1}{n}}-1)$
[/mm]
Ist es so in Ordnung? Reicht es als Begründung, wenn ich Bernoulli per Induktion beweise?
> Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit anfangen!
Ok dann fange ich damit an:
[mm] $\sqrt[n]{a}=1+x_{n}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow a=(1+x_{n})^{n} \ge 1+nx_{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{a-1}{n}\ge x_{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \ge x_{n} \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow 1+x_{n} [/mm] = 1+0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}
[/mm]
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Fang an mit [mm]x = a^{1/n} - 1[/mm] und wende dann Bernoulli an
> (und bedenke, > dass du begruenden > musst, warum du
> Bernoulli anwenden kannst!).
>
> [mm]$x=a^{\frac{1}{n}}-1 \Rightarrow (1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]n(a^{\frac{1}{n}}-1)$[/mm]
>
> Ist es so in Ordnung?
Du musst noch sagen, dass $x [mm] \ge [/mm] -1$ ist, ansonsten kannst du Bernoulli nicht anwenden.
> Reicht es als Begründung, wenn ich
> Bernoulli per Induktion beweise?
Wenn ihr den Satz nicht hattet, waer das besser.
> > Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit
> > anfangen!
>
> Ok dann fange ich damit an:
> [mm]\sqrt[n]{a}=1+x_{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow a=(1+x_{n})^{n} \ge 1+nx_{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{a-1}{n}\ge x_{n}[/mm]
Soweit ok.
> [mm]$\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \ge x_{n} \le[/mm]
> 0
Eben nicht.
Du meinst $0 = [mm] \lim_{n\to\infty} \frac{a - 1}{n} \ge \lim_{n\to\infty} x_n$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow 1+x_{n}[/mm] = 1+0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}[/mm]
Aus dem obigen folgt erstmal nur [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] x_n) [/mm] = 1 + [mm] \lim_{n\to\infty} x_n \le [/mm] 1 + 0 = 1$.
Jetzt musst du noch [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n \ge [/mm] 0$ zeigen.
Schau dir mal die drei Faelle $a < 1$, $a = 1$ und $a > 1$ getrennt an. Kannst du in jedem der Faelle etwas ueber [mm] $x_n$ [/mm] aussagen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Schau dir mal die drei Faelle $ a < 1 $, $ a = 1 $ und $ a > 1 $ getrennt an. > Kannst du in jedem der Faelle etwas ueber $ [mm] x_n [/mm] $ aussagen?
Ja, [mm] x_{n} [/mm] geht gegen 0 für alle 3 Fälle!
Danke!!!!
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