Unendliche Summe konvergiert gegen 1 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Blatt 5 Aufgabe 3 (i)
ZZ.: [m] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/m] konvergiert gegen 1.
Ok. Klar. Das ist bei scharfem Hinsehen gleich klar.
[m] ( \bruch{1}{1(1+1)} ,\bruch{1}{2(2+1)} ,\bruch{1}{3(3+1)} , ... ) [/m]
=
[m] ( \bruch{1}{2} ,\bruch{1}{6} ,\bruch{1}{12} , ... ) [/m]
Man sieht die Folge wächst immer. Und man sieht das die neuen Elemente immer > 0 sind.
Aber wie kann man sagen, dass die 1 nicht überschritten wird ?
Jemand hat mir gesagt ich soll nach:
Majoranten Kriteriom, Minoranten Kriteriom, Leibniz Kriterium, Quotienten Kriterium
suchen... werd ich tun.
Gefunden Majorantenkriterium:
http://www.matheboard.de/lexikon/index.php/Majorantenkriterium
Aber ich weiss nicht wie und ob ich das hier anwenden kann.
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> Blatt 5 Aufgabe 3 (i)
> ZZ.: [m]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/m] konvergiert
> gegen 1.
> Ok. Klar. Das ist bei scharfem Hinsehen gleich klar.
Gewiß nicht!
> [m]( \bruch{1}{1(1+1)} ,\bruch{1}{2(2+1)} ,\bruch{1}{3(3+1)} , ... ) [/m]
>
> =
> [m]( \bruch{1}{2} ,\bruch{1}{6} ,\bruch{1}{12} , ... ) [/m]
> Man
> sieht die Folge wächst immer. Und man sieht das die neuen
> Elemente immer > 0 sind.
Diese Eigenschaft haben sehr, sehr, sehr viele Folgen, die nicht gegen 1 konvergieren
> Aber wie kann man sagen, dass die 0 nicht überschritten
> wird ?
>
>
Guck mal:
[mm] \bruch{1}{k(k+1)}= \bruch{1+k-k}{k(k+1)} = \bruch{1+k}{k(k+1)}-\bruch{k}{k(k+1)}...[/mm]
Und was kommt jetzt?
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