Unendliche Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Mo 01.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4k-1 (k [mm] \in \IZ [/mm] ) gibt! (Hinweis: Betrachten Sie Zahlen der Form [mm] 2^{2} [/mm] * 3 * 5 * ... * p-1)
(ii) Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 6k-1 (k [mm] \in \IZ) [/mm] gibt! |
Ich habe schon einige Beweise zur Primzahlform 4k+1 und 4k+3 gefunden und steig da aber nicht wirklich hinter. Außerdem verstehe ich den Hinweis nicht wirklich! Es wär schön, wenn mir jemand helfen könnte!
Lg lenzlein
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Hallo lenzlein,
> (i) Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form
> 4k-1 (k [mm]\in \IZ[/mm] ) gibt! (Hinweis: Betrachten Sie Zahlen der
> Form [mm]2^{2}[/mm] * 3 * 5 * ... * p-1)
>
> (ii) Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der
> Form 6k-1 (k [mm]\in \IZ)[/mm] gibt!
> Ich habe schon einige Beweise zur Primzahlform 4k+1 und
> 4k+3 gefunden
...und die zu 4k+3 haben nicht weiter geholfen? Das ist doch gerade die hier zu untersuchende Restklasse [mm] \mod{4}.
[/mm]
> und steig da aber nicht wirklich hinter.
> Außerdem verstehe ich den Hinweis nicht wirklich! Es wär
> schön, wenn mir jemand helfen könnte!
Der Hinweis funktioniert wie ![[]](/images/popup.gif) Euklids Beweis über die Unendlichkeit der Primzahlen. Der einzige "Trick" besteht darin, noch eine zusätzliche 2 dranzumultiplizieren und am Ende eben nicht eine 1 zu addieren, sondern zu subtrahieren. Es ergibt sich eine Zahl der Form 4m-1, die durch keine der im Produkt vertretenen Primzahlen teilbar ist.
Und ab da gehts genauso weiter wie bei Euklid. Den musst Du allerdings erstmal verstanden haben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 01.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
ok also ich versuchs mal in normalem deutsch zu formulieren (beweis von euklid):
ich mache einen widerspruchsbeweis und gehe davon aus dass primzahlen endlich sind...dh es gibt eine menge [mm] p_{1} [/mm] bis [mm] p_{n} [/mm] , die alle möglichen primzahlen beinhaltet. da jede zahl, die keine primzahl ist, durch primfaktorzerlegung dargestellt werden kann, nehme ich mir nun eine zahl m mit folgenden eigenschaften: sie ist das produkt aller primzahlen (dh. m wird durch alle primzahlen geteilt und ist die kleinste zahl, die diese eigenschaft besitzt)...nehme ich mir nun die zahl m+1, dann darf diese nach meinen voraussetzungen keine primzahl sein und muss einen teiler haben (wir nennen ihn q). außerdem gilt m+1 > 1. da wir eine zahl nach primfaktoren zerlegen muss q nun eine primzahl der menge [mm] p_{1} [/mm] bis [mm] p_{n} [/mm] sein. demnach muss q auch m teilen weil m ja das produkt aller primzahlen ist. wenn q nun m und m+1 teilt, dann teilt q auch die differenz (davon kann ich einfach so ausgehen?). somit müsste q 1 teilen und das ist ein widerspruch.
ist das ok?
soweit so gut...nun und jetzt müsste ichs auf meinen beziehen...das mit der 1 abziehen versteh ich...aber warum multiplizier ich noch eine 2 dran?
lg lenzlein
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Hallo nochmal,
ja, das ist soweit gut. Allerdings muss ein Teiler von m+1 nicht notwendig prim sein, er könnte auch zusammengesetzt sein, dürfte aber auch dann keine der bekannten Primzahlen beinhalten. In jedem Fall ist also die Voraussetzung ad absurdum geführt, man könnte alle Primzahlen kennen.
Dass Deine jetzige Aufgabe mit dem Tipp kommt, [mm] 2^2 [/mm] in die Faktorenliste aufzunehmen, liegt an der Aufgabe. So wird das Produkt durch 4 teilbar, und wenn schließlich noch 1 abgezogen wird, entsteht eine Zahl vom Typ 4k-1. Die ist entweder prim (dann hätte die Zahl aber im Produkt vorkommen müssen!) oder auch nicht, aber wenn nicht, dann enthält sie keine der schon bekannten Primzahlen als Teiler. Da aber alle Primzahlen (außer der 2) entweder vom Typ 4k+1 oder 4k-1 sind, muss die ermittelte Zahl mindestens einen Teiler vom Typ 4k-1 enthalten, der noch nicht in der angeblich vollständigen Liste steht. Die Annahme, man könnte eine solche Liste erstellen, führt daher zum Widerspruch.
So weit, so gut.
Leider führt der gleiche Weg bei der zweiten Aufgabe noch nicht zum Ziel.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Di 02.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
> So weit, so gut.
> Leider führt der gleiche Weg bei der zweiten Aufgabe noch
> nicht zum Ziel.
Hmh aber wenn ich alle Primzahlen multipliziere beginne ich ja wieder mit 2*3*....*p-1 und 2*3 ist ja 6...dementsprechend hätt ich da ja gleich die form 6k-1....oder was muss ich da beachten?
lg
lenzlein
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Ah, sorry.
Ich hatte [mm] 6k\red{+}1 [/mm] im Kopf, da würde die Argumentation nicht ausreichen. So geht es natürlich.
Eigentlich sollten unsere Tipps hier nicht irreführend sein, auch nicht unabsichtlich. Ich bitte um Entschuldigung.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mi 03.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
is ja kein problem ich hab ja nachgefragt! danke für deine hilfe
lg lenzlein
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