Unendlich oft differenzierbar? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 24.01.2010 | | Autor: | tobster |
| Aufgabe | Sei f: R-> R definiert durch:
[mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{-x}sin( \wurzel{-x}), & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ \wurzel{x}sinh (\wurzel{x}), & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \end{cases} [/mm] |
1.) Zeigen Sie das f unendlich oft differenzierbar ist.
2.) Geben Sie die zugehörigen Taylorpolynome t(x) um x= 0 an.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man zeigt das etwas unendlich oft differenzierbar ist? Dann muss es doch auch unendlich oft stetig sein, also alle Ableitungen müssen stetig sein, richtig?
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Ich bin mir fast sicher, daß es
[mm]f(x) = - \sqrt{-x} \cdot \sin \sqrt{-x}[/mm] für [mm]x<0[/mm]
heißen muß. Stimmt's?
Zeige:
[mm]\frac{1}{x} \cdot f \left( x^2 \right) = \sinh x[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm] (mit stetiger Ergänzung bei [mm]x=0[/mm])
[mm]- \frac{1}{x} \cdot f \left( -x^2 \right) = \sin x[/mm] für [mm]x < 0[/mm]
Verwende dann die bekannten Potenzreihen für [mm]\sinh x[/mm] bzw. [mm]\sin x[/mm] und löse nach [mm]f \left( x^2 \right)[/mm] bzw. [mm]f \left( -x^2 \right)[/mm] auf. Die Substitution [mm]x^2 = t[/mm] bzw. [mm]- x^2 = t[/mm] erledigt den Rest. Die Differenzierbarkeitseigenschaft folgt.
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